Question

Скажите, правильно ли записана теорема и доказательство? Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну. Док-во : 1) Рассмотрим прямую a и точку A , которая не находится на этой прямой. 2) На прямой a выберем точки B и C . 3) Так как все 3 точки не находятся на одной прямой, из аксиомы (Через любые три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость.) следует, что через точки A , B и C можно провести одну единственную плоскость α . 4) Точки прямой a , B и C , лежат на плоскости α , поэтому из аксиомы (Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечное множество плоскостей.) следует, что плоскость проходит через прямую a и, конечно, через точку A .

Answer 1

4) пункт лишний, ч.т.д. получено уже в 3) пункте, только добавить в аксиому "...можно провести плоскость и при том только одну"

Answer 2

Данное доказательство содержит некоторые ошибки и недочеты, которые следует исправить.

Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямую a и точку A, которая не лежит на этой прямой.

2. На прямой a выберем две различные точки B и C.

3. Так как точки A, B и C не лежат на одной прямой, из аксиомы (Через любые три не лежащие на одной прямой точки можно провести только одну плоскость.) следует, что через точки A, B и C можно провести одну единственную плоскость α.

4. Точки B и C лежат на плоскости α, поэтому из аксиомы (Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечное множество плоскостей.) следует, что плоскость α проходит через прямую a.

Таким образом, доказано, что через прямую a и точку A можно провести единственную плоскость α, что завершает доказательство.

Важно уточнить, что в данном доказательстве для плоскости α выбираются три точки A, B и C. Но, поскольку плоскость определяется двумя любыми несовпадающими точками и любой точкой, не лежащей на прямой, можно было бы также провести плоскость через точку A и две другие точки, не лежащие на прямой. Это также доказывает единственность плоскости.