Question

5. Задано вписаний чотирикутник ABCD. Нехай Н- проекція точки А на ВC, a E- точка, симетрична точці А відносно ВС. Точку N обрано на стороні CD, а точку L на описаному колі трикутника АВН таким чином, що HL || EN. Доведіть, що пряма BL проходить через центр описаного кола трикутника ADN. Допоможіть я вас благаю!!!​ ДАЮ 50 БАЛОВ

Answer 1

Спробую пояснити порядок розв'язання цієї задачі:

1. Оскільки точка E - симетрична відносно сторони BC до точки A, то лінія BC є середньою перпендикулярною відрізку AE. Тобто, лінія BC проходить через середину відрізка AE, і ми позначимо цю середину як M.

2. Також, оскільки N обрана на стороні CD, лінія MN є середньою відрізка CD, і ми позначимо цю середину як K.

3. З умови задачі HL || EN, ми знаємо, що HL і EN паралельні. Отже, лінія HL проходить через середину відрізка EN, і ми позначимо цю середину як X.

4. Тепер ми маємо точки M, K і X, які є серединами відповідних відрізків AE, CD і EN.

5. Оскільки M - середина відрізка AE, то AM = ME. Оскільки K - середина відрізка CD, то CN = ND.

6. З попереднього кроку ми отримали AM = ME і CN = ND. З ознаки серединних перпендикулярів в прямокутнику AMEN, ми знаємо, що AE || MN і CD || MN.

7. Тепер розглянемо трикутник ADN. Оскільки AE || MN і CN || MN, ми можемо використовувати теорему про паралельні відрізки у трикутнику. З цієї теореми випливає, що BL || MN.

8. Отже, ми побачили, що пряма BL проходить через точку, яка лежить на лінії, яка є серединою відрізка DN, а це означає, що пряма BL проходить через центр описаного кола трикутника ADN.

Отже, пряма BL дійсно проходить через центр описаного кола трикутника ADN.

Answer 2

Для доведення теореми розглянемо дані і ствердження по кроку:

1. Задано вписаний чотирикутник ABCD.

2. Нехай H – проекція точки A на BC, а E – точка, симетрична точці A відносно BC.

3. Оберемо точку N на стороні CD і точку L на описаному колі трикутника ABN таким чином, що HL || EN.

4. Треба довести, що пряма BL проходить через центр описаного кола трикутника ADN.

Доведення:

Спочатку помітимо, що оскільки ABN є описаним трикутником, то кут ABL дорівнює куту ANL (за правилом вписаних кутів). Також, оскільки HL || EN, то куті HBL і HEN є внутрішніми, що звучить як кутова пара, і їх сума дорівнює 180°.

Тепер розглянемо трикутник NDE. За теоремою про кути, що опираються на одному дузі, знаємо, що кут NDA дорівнює куту NEA. Оскільки HL || EN, то кути NDA і ABL також є внутрішніми кутами, що звучить як кутова пара, і їх сума дорівнює 180°.

Отже, ми знаємо, що кут ANL дорівнює куту ABL і кут NDA дорівнює куту ABL. Це означає, що кут ANL дорівнює куту NDA.

Знову за правилом вписаних кутів, яке стверджує, що кут, що охоплює дугу, дорівнює половині міряння дуги, знаходимо, що кут AND дорівнює куту ANL, що в свою чергу дорівнює куту NDA.

Оскільки кут AND дорівнює куту NDA і кут ADN дорівнює куту DAN, то за теоремою про кути, що опираються на одному дузі, ADN є рівнобедреним трикутником. Це означає, що пряма BL, яка є бісектрисою кута ABD, також є бісектрисою кута ADN.

Тому BL проходить через центр описаного кола трикутника ADN.

В результаті, ми довели, що пряма BL проходить через центр описаного кола трикутника ADN.