Question

В основі прямої призми лежить ромб із меншою діагоналлю 8 см і гострим кутом 60°. Через більшу діагональ нижньої основи й вершину тупого кута верхньої основи проведено переріз, що утворює з площиною основи кут 30°. Знайти площу одержаного перерізу.​

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі, спершу розглянемо властивості прямокутних призм і ромбів.

1. Основа прямої призми - ромб з меншою діагоналлю 8 см. Оскільки ромб - це чотирикутник з усіма сторонами однакової довжини, то довжина сторін ромба дорівнює 8 см.

2. Гострий кут призми дорівнює 60°.

3. Більша діагональ нижньої основи і вершина тупого кута верхньої основи утворюють рівні трикутники з рівними кутами.

4. Кут між площиною основи і перерізом дорівнює 30°.

Давайте позначимо різні сторони ромба та інші елементи, щоб спростити розрахунки:

- AB = BC = CD = DA = 8 см (сторони ромба). - O - середина однієї сторони ромба (половина меншої діагоналі). - E - вершина тупого кута на верхній основі призми. - F - точка на нижній основі призми, де перетинається переріз. - H - точка на нижній основі призми, де перпендикуляр від H до EF утворює кут 30° з площиною основи.

Тепер давайте знайдемо розміри рівностороннього трикутника DEF на верхній основі:

- DE = EF = FD (оскільки всі сторони рівні в рівносторонньому трикутнику). - Кут DFE = 30° (за умовою задачі).

Зараз ми знаємо, що кут DFE дорівнює 30°, та сторони DE, EF, і FD рівні між собою. Для знаходження площі рівностороннього трикутника DEF ми можемо використовувати формулу площі рівностороннього трикутника:

Площа трикутника = (сторона ^ 2 * √3) / 4

У нашому випадку, сторона трикутника DE = EF = FD дорівнює стороні ромба, тобто 8 см. Тоді:

Площа трикутника DEF = (8^2 * √3) / 4 = (64 * √3) / 4 = 16√3 кв. см.

Отже, площа отриманого перерізу (трикутника DEF) дорівнює 16√3 кв. см.