Question

Даю 100 балів!! В основі прямої призми ABCA1B1C1 лежить рівнобедрений прямокутний трикутник АВС, в якого кут С дорівнює 90о, а гіпотенуза дорівнює см. Через сторону АВ і вершину С1 проведено перетин. Знайди кут між площиною основи та площиною перетину, якщо довжина бічного ребра дорівнює см.​

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі, спочатку визначимо властивості заданої призми. Маємо пряму призму ABCA1B1C1, в основі якої лежить рівнобедрений прямокутний трикутник ABC, де кут C дорівнює 90 градусів, а гіпотенуза (сторона AB) дорівнює "с" см.

Зараз наша мета - знайти кут між площиною основи (площина ABC) та площиною перетину, який утворюється після проведення перетину через сторону AB та вершину C1 призми.

Згідно до властивостей рівнобедреного прямокутного трикутника ABC, який лежить в основі призми:

1. Сторона AB (гіпотенуза) дорівнює "с" см. 2. Сторони AC і BC однакові і дорівнюють "с" / √2 см (оскільки це рівнобедрений прямокутний трикутник).

Тепер розглянемо перетин призми через сторону AB та вершину C1. Цей перетин утворює прямокутний трикутник C1C2C3, де C2 і C3 - це точки перетину ліній, проведених через вершину C1 і паралельні до сторін AB та AC відповідно.

Тепер, щоб знайти кут між площиною основи та площиною перетину, нам потрібно знайти кут між векторами, які лежать в цих площинах. Цей кут можна знайти за допомогою скалярного добутку векторів.

Давайте позначимо вектори, які лежать в площині ABC (площина основи) та в площині C1C2C3 (площина перетину). Назвемо їх u та v відповідно.

Вектор u буде нормальним до площини ABC і може бути представлений як: u = (0, 0, 1), де z-компонента вектора дорівнює 1, оскільки це нормаль до площини XY (ABC лежить в площині XY).

Вектор v буде нормальним до площини C1C2C3. Для його знаходження спершу знайдемо координати векторів C1C2 та C1C3. Ми знаємо, що C1C2 та C1C3 є паралельними векторами до сторін AB та AC відповідно, тобто їх координати будуть:

C1C2 = (c, 0, 0) (оскільки вони паралельні до сторони AB) C1C3 = (0, c/√2, c/√2) (оскільки вони паралельні до сторони AC)

Тепер знайдемо вектор v, який є нормаллю до площини C1C2C3, за допомогою векторного добутку векторів C1C2 і C1C3: v = C1C2 x C1C3

Де "x" позначає векторний добуток.

Тепер знаючи координати векторів C1C2 та C1C3, ми можемо знайти вектор v. Векторний добуток двох векторів можна знайти, використовуючи таку формулу:

v = (C1C2.y * C1C3.z - C1C2.z * C1C3.y, C1C2.z * C1C3.x - C1C2.x * C1C3.z, C1C2.x * C1C3.y - C1C2.y * C1C3.x)

Після підстановки значень отримуємо:

v = (0, -c^2/√2, c^2/√2)

Тепер ми маємо два вектори u та v, які лежать в площинах ABC та C1C2C3 відповідно.

Тепер ми можемо знайти кут між цими двома векторами, використовуючи скалярний добуток:

cos(θ) = (u • v) / (||u|| * ||v||)

Де "•" позначає скалярний добуток, "||u||" - норма вектора u, і "||v||" - норма вектора v.

У нашому випадку: u • v = (0 * 0 + 0 * (-c^2/√2) + 1 * (c^2/√2)) = c^2/√2 ||u|| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1 ||v