Question

Напишіть рівняння медіани АМ ∆АВС та знайдіть її довжину , якщо А(-3;2),В(4;1),С(5;-4) ​

Answer 1

Даны вершины треугольника А(-3;2),В(4;1),С(5;-4).

Точка М - это середина стороны ВС,

Находим М= (В(4;1) + С(5;-4)) / 2 = (4,5; -1,5).

Находим вектор АМ.

АМ = (4,5-(-3); -1,5-2) = (7,5; -3,5).

Теперь определяем его модуль (это длина АМ).

|AM| = √((7,5² + (-3,5)²) = √(56,25 + 12,25) = √68,5 ≈ 8,27647.

Уравнение составляем по точке А и направляющему вектору АМ.

(x + 3)/7,5 = (y - 2)/(-3,5).

Answer 2

Медіана - це відрізок, який з'єднує середину сторони трикутника з протилежним кутом. Щоб знайти рівняння медіани та її довжину, спочатку потрібно знайти середини сторін трикутника та потім використовувати формулу відстані між двома точками.

Спочатку знайдемо середини сторін трикутника ABC:

Середина сторони AB: \[ x_{AB} = \dfrac{-3 + 4}{2} = \dfrac{1}{2}, \] \[ y_{AB} = \dfrac{2 + 1}{2} = \dfrac{3}{2}. \]

Середина сторони BC: \[ x_{BC} = \dfrac{4 + 5}{2} = \dfrac{9}{2}, \] \[ y_{BC} = \dfrac{1 + (-4)}{2} = -\dfrac{3}{2}. \]

Середина сторони AC: \[ x_{AC} = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1, \] \[ y_{AC} = \dfrac{2 + (-4)}{2} = -1. \]

Тепер ми маємо координати середин сторін AB, BC та AC: (1/2, 3/2), (9/2, -3/2) та (1, -1) відповідно.

Рівняння медіани можна знайти за допомогою рівняння прямої, що проходить через дві точки. Виберемо середину сторони AB та вершину С для побудови медіани:

\[ y - y_{AB} = \dfrac{y_{AC} - y_{AB}}{x_{AC} - x_{AB}}(x - x_{AB}). \]

Підставляючи відомі значення, отримаємо рівняння медіани:

\[ y - \dfrac{3}{2} = -2(x - \dfrac{1}{2}). \]

Розгорнемо дужки та приведемо рівняння до стандартної форми:

\[ y - \dfrac{3}{2} = -2x + 1. \]

\[ y = -2x + \dfrac{5}{2}. \]

Це є рівняння медіани трикутника ABC.

Щоб знайти довжину медіани, можна використовувати формулу відстані між двома точками у просторі:

Довжина медіани \(d\) між точками \((x_1, y_1)\) та \((x_2, y_2)\) розраховується за формулою:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \]

У нашому випадку точки медіани мають координати \((x_1, y_1) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\) та \((x_2, y_2) = (1, -1)\). Підставляючи значення, отримаємо:

\[ d = \sqrt{(1 - \frac{1}{2})^2 + ((-1) - \frac{3}{2})^2}. \]

\[ d = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{-5}{2})^2}. \]

\[ d = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{25}{4}}. \]

\[ d = \sqrt{\frac{26}{4}}. \]

\[ d = \sqrt{\frac{13}{2}}. \]

Отже, довжина медіани трикутника ABC приблизно дорівнює \(d \approx 2.86\).

Answer 3

Медіана ∆ABC - це відрізок, який сполучає одну з вершин трикутника з серединою протилежного йому відрізка.

Спершу знайдемо середину відрізка АВ: Середина відрізка АВ має координати ((-3+4)/2, (2+1)/2) = (1/2, 3/2)

Тепер знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки С і цю середину:

1. Знайдемо коефіцієнт наклона прямої: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) m = (-4 - 3/2) / (5 - 1/2) m = (-11/2) / (9/2) = -11/9

2. Використаємо формулу прямої y = mx + b, підставляючи в неї координати однієї з точок і відомий коефіцієнт наклона, щоб знайти b (перетин з осями): 1 = (-11/9)(4) + b 1 = (-44/9) + b b = 1 + 44/9 b = 53/9

Отже, рівняння прямої, що проходить через точки С і середину відрізка АВ, має вигляд y = (-11/9)x + 53/9.

Залишилось знайти точку перетину цієї прямої з прямою АС і знайти довжину відрізка між цими двома точками.

3. Знайдемо точку перетину прямих, розв'язавши систему рівнянь: y = (-11/9)x + 53/9 y = -4

Підставимо значення у пряму: -4 = (-11/9)x + 53/9 -4 - 53/9 = (-11/9)x (-36/9) - (53/9) = (-11/9)x (-89/9) = (-11/9)x

18/89 = x

Підставимо це значення у вираз для y: y = (-11/9)(18/89) + 53/9 = -29/89

Тому точка перетину прямих має координати (18/89, -29/89).

4. Знайдемо довжину відрізка між точками С і точкою перетину прямих:

∆x = 5 - 18/89 = 22/89 ∆y = -4 - (-29/89) = -5/89

Довжина медіани ∆ABC - це відрізок між точками С і точкою перетину прямих.

Довжина медіани ∆ABC дорівнює √(∆x^2 + ∆y^2) = √((22/89)^2 + (-5/89)^2)