Question

Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(1;4;3), B(2;3;5), C(2;5;1), D(3;4;3) является параллелограммом.

Answer 1

Дано четырехугольник ABCD с вершинами в точках A (1 , - 5) , B (2 , 3) , C (- 3 , 1) , D (- 4 , - 7) и нам нужно доказать , что это четырехугольник является параллелограммом .

Мы доказываем с помощью свойству четырехугольника . Знаем , если координаты середин отрезков AC и BD совпадают , то это четырехугольник ABCD является параллелограммом .

Найдём середин отрезков AC и BD :

а) A (1 , - 5) ; C (- 3 , 1) :

x = (1 - 3)/2 = - 1 ; y = (- 5 + 1)/2 = - 2 .

б) B (2 , 3) и D (- 4 , - 7) :

x = (2 - 4)/2 = - 1 ; y = (3 - 7)/2 = - 2 .

Видно координаты середин одинаковы , значит , четырехугольник ABCD является параллелограммом .

Ответ : Четырехугольник ABCD является параллелограммом .

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно проверить два важных условия для параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллельны. 2. Противоположные стороны равны по длине.

Для начала давайте найдем уравнения прямых, содержащих стороны AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD. Это позволит нам проверить, что стороны параллельны.

Сначала найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A(1;4;3) и B(2;3;5). Для этого используем уравнение прямой в трехмерном пространстве:

Уравнение прямой AB:

x = 1 + t(2 - 1) = 1 + t, y = 4 + t(3 - 4) = 4 - t, z = 3 + t(5 - 3) = 3 + 2t.

Аналогично, найдем уравнения прямых для сторон BC, CD и DA:

Уравнение прямой BC:

x = 2 + t(2 - 2) = 2, y = 3 + t(5 - 3) = 3 + 2t, z = 5 + t(1 - 5) = 5 - 4t.

Уравнение прямой CD:

x = 2 + t(3 - 2) = 2 + t, y = 5 + t(4 - 3) = 5 + t, z = 1 + t(3 - 1) = 1 + 2t.

Уравнение прямой DA:

x = 1 + t(3 - 1) = 1 + 2t, y = 4 + t(4 - 4) = 4, z = 3 + t(3 - 3) = 3.

Теперь мы видим, что уравнения прямых AB и CD имеют вид x = 1 + t и x = 2 + t соответственно, что говорит о том, что они параллельны и имеют одинаковый направляющий вектор по x. Точно так же уравнения прямых BC и DA имеют вид y = 3 + 2t и y = 4 соответственно, что также говорит о их параллельности и равной длине.

Таким образом, мы видим, что противоположные стороны AB и CD, а также BC и DA, являются параллельными. Теперь нам осталось проверить, что они равны по длине. Для этого вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA и сравним их.

Длина стороны AB:

AB = √((2 - 1)^2 + (3 - 4)^2 + (5 - 3)^2) = √(1 + 1 + 4) = √6.

Длина стороны BC:

BC = √((2 - 2)^2 + (3 + 2t - 3 - 2t)^2 + (5 - 4t - 5 + 4t)^2) = √(0 + 0 + 0) = 0.

Длина стороны CD:

CD = √((2 + t - 2 - t)^2 + (5 + t - 5)^2 + (1 + 2t - 3)^2) = √(0 + t^2 + 4t^2) = √(5t^2).

Длина стороны DA:

DA = √((1 + 2t - 1)^2 + (4 - 4)^2 + (3 - 3)^2) = √(4t^2) = 2|t|.

Теперь мы видим, что длины сторон AB и CD равны (AB = √6, CD = √5t^2), а длины сторон BC и DA также равны (BC = 0, DA = 2|t|). Это означает, что противоположные стороны параллелограмма ABCD равны по длине.

Итак, мы доказали, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны параллельны (AB || CD и BC || DA) и равны по длине (AB = CD и BC = DA). Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.