Question

Знайдіть похідну функції f(х) = (x^2 + 3х)√х. Обчисліть: 1) f’(9); 2) f’(1/4).

Answer 1

Ответ:

$f(x) = ( {x}^{2} + 3x) \sqrt{x} = {x}^{2} \sqrt{x} + 3x \sqrt{x} = \\ = {x}^{ \frac{5}{2} } + 3 {x}^{ \frac{3}{2} }$

$f'(x) = \frac{5}{2} {x}^{ \frac{3}{2} } + 3 \times \frac{3}{2} {x}^{ \frac{1}{2} } = 2.5x \sqrt{x} + 4.5 \sqrt{x}$

$f'(9) = 2.5 \times 9 \times \sqrt{9} + 4.5 \times 3 = \\ = 67.5 + 13.5 = 81$

$f'( \frac{1}{4} ) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{9}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{16} + \frac{9}{4} = \\ = \frac{3 + 36}{16} = \frac{39}{16} = 2 \frac{7}{16}$

Answer 2

Щоб знайти похідну функції f(x) = (x^2 + 3x)√x, вам потрібно використовувати правила диференціювання для складених функцій та біноміальних функцій. Давайте розглянемо обчислення похідних для обох пунктів:

1) Обчислення f'(9):

Спочатку розкладемо функцію f(x) на добуток двох функцій:

f(x) = (x^2 + 3x)√x = x^2√x + 3x√x

Тепер знайдемо похідну кожної з цих складових:

a) Похідна першої складової x^2√x:

Для знаходження похідної цієї функції можемо використати правило диференціювання добутку:

(fg)' = f'g + fg'

де f = x^2 і g = √x.

f' = 2x (похідна x^2 по відношенню до x) g' = (1/2)x^(-1/2) (похідна √x по відношенню до x)

Тепер знаходимо похідну x^2√x:

(x^2√x)' = 2x√x + x^2(1/2)x^(-1/2) = 2x√x + (1/2)x^3x^(-1/2) = 2x√x + (1/2)x^(5/2).

b) Похідна другої складової 3x√x:

Тут ми вже знаємо, як знаходити похідну функції x√x (вона дорівнює (3/2)x√x), тому похідна цієї складової:

(3x√x)' = 3(3/2)x√x = (9/2)x√x.

Тепер ми можемо знайти загальну похідну функції f(x):

f'(x) = (x^2√x)' + (3x√x)' = (2x√x + (1/2)x^(5/2)) + (9/2)x√x = 2x√x + (1/2)x^(5/2) + (9/2)x√x = (11/2)x√x + (1/2)x^(5/2).

2) Обчислення f'(1/4):

Тепер, коли ми вже знайшли загальну похідну f'(x), можемо обчислити f'(1/4). Підставимо x = 1/4 у вираз для f'(x):

f'(1/4) = (11/2)(1/4)√(1/4) + (1/2)(1/4)^(5/2) = (11/2)(1/4)(1/2) + (1/2)(1/4)^(5/2) = (11/8)√(1/4) + (1/2)(1/4)^(5/2) = (11/8)(1/2) + (1/2)(1/1024) = 11/16 + 1/2048 = 352/2048 + 1/2048 = 353/2048.

Отже, значення похідної f'(1/4) дорівнює 353/2048, що може бути спрощено, якщо потрібно.