Question

У кубі ABCDA1B1C1D1 з ребром а знайдіть відстань між вершиною С і площиною AB1D1​

Answer 1

Ответ:

Расстояние между вершиной С и плоскостью AB₁D₁ равно $\displaystyle \bf \frac{2\sqrt{3} a}{3}$.

Объяснение:

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а найдите расстояние между вершиной С и плоскостью AB₁D₁.​

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁  - куб;

а - ребро куба;

Найти: расстояние от С до AB₁D₁.

Решение:

• Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

⇒ СК - искомый отрезок.

1. Рассмотрим ΔАЕО - прямоугольный.

• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

⇒  $\displaystyle \bf AO = \frac{a\sqrt{2} }{2}$

EO = a

По теореме Пифагора найдем АЕ:

$\displaystyle \bf AE^2 = AO^2 + OE^2=\frac{2a^2}{4}+a^2 =\frac{3a^2}{2}\\\\AE=\frac{a\sqrt{3} }{\sqrt{2} } =\frac{a\sqrt{6} }{2}$

Пусть ∠ЕАО = α

$\displaystyle \bf sin\alpha =\frac{OE}{AE} =\frac{a\cdot 2}{a\sqrt{6} }=\frac{2\sqrt{6} }{6} =\frac{\sqrt{6} }{3}$

2. Рассмотрим ΔАКС - прямоугольный.

$\displaystyle \bf \frac{KC}{AC}=sin\alpha \\ \\KC=AC \cdot sin\alpha =a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6} }{3}=\frac{2\sqrt{3} \;a}{3}$

#SPJ1

Answer 2

Для того чтобы найти расстояние между вершиной С к плоскости ab1d1, можно воспользоваться формулой для расстояния между точкой и плоскостью. В общем случае, формула для расстояния между точкой (x0, y0, z0) и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 имеет вид: d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

В данном случае у нас есть плоскость ab1d1, которую можно задать уравнением: x + y + 2z + 2 = 0

А также вершина C с координатами (a, b, c).

Теперь мы можем воспользоваться формулой для расстояния и подставить значения координат вершины C в уравнение плоскости: d = |a + b + 2c + 2| / √(1^2 + 1^2 + 2^2) = |a + b + 2c + 2| / √6