Question

На ребре B1C1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка K так, что B1K:KC1 = 5:7. Найдите угол между прямой AK и плоскостью ABC. Даю 20 баллов, помогите кому не сложно.

Answer 1

..............................................

Answer 2

Для нахождения угла между прямой ak и плоскостью abc, нам необходимо найти направляющий вектор прямой ak и нормальный вектор плоскости abc.

Направляющий вектор прямой ak найдем как разность векторов координат точек a и k: ak = k - a

Найдем координаты точек a и k: a (-1, 1, 0) k (x, y, z)

Тогда направляющий вектор ak будет: ak (x - (-1), y - 1, z - 0) = (x + 1, y - 1, z)

Поскольку прямая ak лежит в плоскости abc, то вектор ak должен быть ортогонален нормальному вектору плоскости.

Нормальный вектор плоскости abc можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. Для этого возьмем векторы ab и ac: ab = b - a ac = c - a

Найдем координаты точек b и c: b (1, 1, 0) c (1, 0, 1)

Тогда векторы ab и ac будут: ab (1 - (-1), 1 - 1, 0 - 0) = (2, 0, 0) ac (1 - (-1), 0 - 1, 1 - 0) = (2, -1, 1)

Выполним векторное произведение векторов ab и ac: n = ab × ac = (0 - (-1), -2 - 2, 0 - (-1)) = (1, -4, 1)

Нормальный вектор n плоскости abc будет: n (1, -4, 1)

Теперь найдем скалярное произведение векторов ak и n: ak · n = (x + 1)·1 + (y - 1)(-4) + z·1 = x + 1 - 4y + 4 + z

Поскольку направляющий вектор прямой ak должен быть ортогонален нормальному вектору плоскости, то их скалярное произведение должно быть равно нулю: ak · n = x + 1 - 4y + 4 + z = 0

Окончательно получаем уравнение плоскости abc: x - 4y + z = -5

Теперь у нас есть направление прямой ak и уравнение плоскости abc. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, можно использовать формулу: cos(α) = (ak · n) / (|ak| · |n|)

Обозначим угол между прямой ak и плоскостью abc как α.

Выразим |ak| из уравнения плоскости abc: |ak| = √((x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2)

Посчитаем |n|: |n| = √(1^2 + (-4)^2 + 1^2) = √18 = 3√2

Подставим значения в формулу: cos(α) = (x + 1 - 4y + 4 + z) / (√((x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2) · 3√2)

Зная выражение для отношения b1k:kc1 = 5:7, мы можем определить координаты точки k. Поскольку мы знаем, что b1k:kc1 = 5:7, а координаты точек b1 и c1 равны (1, 1, 1) и (1, 0, 0) соответственно, можем записать уравнение:

bk (1, 1, 1) - kc1 (1, 0, 0) = 5/7

(1 - x, 1 - y, 1 - z) - (x - 1, y, z) = 5/7

(2 - 2x, 1 - y, 1 - z) = 5/7

Таким образом, получаем систему уравнений: { x + 1 - 4y + 4 + z = 0 2 - 2x - 4y + 4 + 2z = 5/7

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения x, y, z: { x = -14/9 y = 9/14 z = 17/14

Подставим найденные значения в формулу для cos(α): cos(α) = (-14/9 + 1 - 4·(9/14) + 4 + 17/14) / (√((-14/9 + 1)^2 + (9/14 - 1)^2 + (17/14)^2) · 3√2)

Таким образом, мы можем вычислить α, а затем найти значение угла α в градусах.