Question

1. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки P(4;3) и T(-2;5) уравнение прямой в виде ax+by+c=0 2. Найдите координаты точек пересечения прямой номер 1 с осями координат 3. Найдите координаты точек пересечения прямой x-y+2=0 c окружностью (x-2)^2+(y-1)^2=9 Везде с подробным решением, пожалуйста

Answer 1

1.

P(4;3), T(-2;5).

Используем уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если даны две точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки будет

$\frac{x-x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y-y_1}{y_2 - y_1}$

То есть у нас даны две точки P(4;3) и T(-2;5), уравнение прямой, проходящей через них будет

$\frac{x-4}{-2-4} = \frac{y-3}{5-3}$

$\frac{x-4}{-6} = \frac{y-3}{2}$

$-\frac{x-4}{3} = y-3$

-(x-4) = 3·(y-3),

4 - x = 3y - 9,

3y + x - 9 - 4 = 0,

x + 3y - 13 = 0.

Можно сделать проверку: подставим координаты каждой точки в уравнение и проверим выполнение равенства.

P(4;3):

4 + 3·3 - 13 = 4 + 9 - 13 = 0. Верно.

T(-2;5):

(-2) + 3·5 - 13 = -2 + 15 - 13 = 0. Верно.

Ответ. x + 3y - 13 = 0.

2.

x + 3y - 13 = 0,

Уравнение оси Ox (оси абсцисс): y = 0. Подставим это в уравнение прямой и получим x + 3·0 - 13 = 0, ⇔ x = 13.

Итак, пересечение прямой с осью Ox дает точку (13;0).

Уравнение оси Oy (оси ординат): x = 0. Подставим это в уравнение прямой и получим 0 + 3y - 13 = 0, ⇔ $y = \frac{13}{3}$.

Итак, пересечение прямой с осью Oy в точке $(0; \frac{13}{3})$.

3.

Дана прямая x - y + 2 = 0 и окружность (x-2)² + (y-1)² = 9.

Чтобы найти координаты точек пересечения решим систему двух уравнений на два неизвестных.

Из уравнения прямой находим y = x+2, подставим это в уравнение окружности: (x-2)² + ( x+2 - 1)² = 9,

(x-2)² + (x+1)² = 9,

x² - 4x + 4 + x² + 2x + 1 = 9,

2x² - 2x + 5 - 9 = 0,

2x² - 2x - 4 = 0,

x² - x - 2 = 0,

D = (-1)² - 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9 = 3²,

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_1 = x_1 + 2 = -1 + 2 = 1$

Итак, координаты первой точки (-1; 1).

$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$y_2 = x_2 + 2 = 2 + 2 = 4$

Итак, координаты второй точки (2; 4).

Ответ. (-1; 1), (2; 4).

Answer 2

1. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки P(4,3) и T(-2,5), можно воспользоваться формулой для нахождения уравнения прямой по двум точкам:

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек P и T соответственно.

Подставляем значения точек:

y - 3 = (5 - 3) / (-2 - 4) * (x - 4).

Упрощаем:

y - 3 = 2 / (-6) * (x - 4).

y - 3 = -1/3 * (x - 4).

Переносим все члены в левую часть уравнения:

y + 1/3 * x - 4/3 - 3 = 0.

Упрощаем:

y + 1/3 * x - 13/3 = 0.

Умножаем все члены уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

3y + x - 13 = 0.

Это и есть уравнение прямой в виде ax + by + c = 0.

2. Чтобы найти координаты точек пересечения прямой номер 1 с осями координат, подставляем значения x и y равные 0 в уравнение пр