Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ найдите синус угла между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты (1;2;2), и плоскостью, вектор нормали которой имеет координаты (-2;1;2).​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{4}{9}$

Объяснение:

$\vec a\; (1;\; 2;\; 2)$ - направляющий вектор прямой

$\vec n\; (-2;\ 1;\; 2)$ - вектор нормали к плоскости.

Найдем косинус угла между векторами:

$\cos\beta=\dfrac{\vec a\cdot \vec n}{|\vec a|\cdot |\vec n|}$

$\cos\beta=\dfrac{x_a\cdot x_n+y_a\cdot y_n+z_a\cdot z_n}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}\cdot \sqrt{x_n^2+y_n^2+z_n^2}}$

$\cos\beta=\dfrac{1\cdot (-2)+2\cdot 1+2\cdot 2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}}=$

$\cos\beta=\dfrac{-2+2+4}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{9}}=\dfrac{4}{9}$

Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между прямой и нормалью к плоскости:

$\sin\alpha =|\cos\beta|=\dfrac{4}{9}$

Answer 2

Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью, нам нужно воспользоваться следующей формулой:

sin(θ) = |(n * d)| / (|n| * |d|),

где: - θ - угол между прямой и плоскостью, - n - вектор нормали к плоскости, - d - направляющий вектор прямой.

В данном случае: - Вектор нормали к плоскости (n) имеет координаты (-2, 1, 2). - Направляющий вектор прямой (d) имеет координаты (1, 2, 2).

Теперь вычислим синус угла:

|n| = √((-2)^2 + 1^2 + 2^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3, |d| = √(1^2 + 2^2 + 2^2) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.

Теперь найдем скалярное произведение векторов n и d:

n * d = (-2 * 1) + (1 * 2) + (2 * 2) = -2 + 2 + 4 = 4.

Теперь можем вычислить синус угла:

sin(θ) = |(n * d)| / (|n| * |d|) = |4| / (3 * 3) = 4 / 9.

Таким образом, синус угла между прямой и плоскостью равен 4/9.