Question

Два угла треугольника равны 45° и 120°, а сторона, лежащая против меньшего из них, равна 7. Найдите сторону треугольника, лежащую против большего из данных углов.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{AC = 7\sqrt{1,5} }$

Объяснение:

Дано: ∠ABC = 120°, ∠ACB = 45°, AB = 7

Найти: AC - ?

Решение: По теореме синусов: $\dfrac{AC}{\sin \angle ABC} = \dfrac{AB}{\sin \angle ACB} \Longrightarrow AC = \dfrac{AB \cdot \sin \angle ABC}{\sin \angle ACB} = \dfrac{7 \cdot \sin 120^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \dfrac{7\cdot 0,5\sqrt{3} }{0,5\sqrt{2} }=$

$= 7\sqrt{\dfrac{3}{2} } = 7\sqrt{1,5}$.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - соответствующие им углы.

Дано, что два угла треугольника равны 45° и 120°. Обозначим эти углы как A и B, соответственно. Тогда третий угол C = 180° - A - B = 180° - 45° - 120° = 15°.

Также известно, что сторона, лежащая против меньшего из данных углов, равна 7. Обозначим эту сторону как a.

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Подставим известные значения:

7/sin(45°) = b/sin(120°) = c/sin(15°)

Так как sin(45°) = sin(15°) (так как они являются половинными значениями sin(90°)), то получаем:

7/sin(45°) = b/sin(120°) = c/sin(15°) = 7/sin(15°)

Обозначим b = x и c = y. Тогда:

7/sin(45°) = x/sin(120°) = y/sin(15°) = 7/sin(15°)

Получаем систему уравнений:

7/sqrt(2) = x/sin(120°) 7 = y/sin(15°)

Решим первое уравнение относительно x:

x = 7*sin(120°)/sin(45°)

Так как sin(120°) = sin(60°), а sin(45°) = sqrt(2)/2, то:

x = 7*sin(60°)/(sqrt(2)/2) = 7*(sqrt(3)/2)/(sqrt(2)/2) = (7*sqrt(3))/(sqrt(2))

Итак, сторона треугольника, лежащая против большего из данных углов, равна (7*sqrt(3))/(sqrt(2)).

Ответ: (7*sqrt(3))/(sqrt(2))