Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ докажите что биссектрисы равнобедренного треугольника проведенные из вершин острых углов при основании равны​

Answer 1

Ответ:

Дано:

∆АВС – равнобедренный с основанием АС;

АО и СМ – биссектрисы углов ВАС и ВСА соответственно.

Доказать: АО=СМ

Решение:

Рассмотрим ∆АОС и ∆СМА.

АС – общая сторона;

Угол АСО=угол САМ, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно 0,5*угол АСО=0,5*угол САМ.

Так как АО и СМ – биссектрисы по условию, то угол САО=0,5*САМ; угол АСМ=0,5*угол АСО.

Тогда угол САО=угол АСМ.

Следовательно из всех найденных равенств:

∆АОМ=∆СМА по двум углам и стороне между ними.

Следовательно АО=СМ как соответственные стороны равных треугольников.

Доказано.

Answer 2

Для доказательства равенства биссектрис, проведенных из вершин острых углов равнобедренного треугольника, давайте рассмотрим следующую ситуацию:

Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть BD и CE - биссектрисы, проведенные из вершин B и C соответственно, и они пересекаются на линии, которую мы обозначим как I. Нам нужно доказать, что BD = CE.

Для начала рассмотрим треугольники ABD и ACE. Из условия равнобедренности треугольника ABC мы знаем, что AB = AC, и угол B = угол C. Поскольку BD и CE - биссектрисы, угол ABD = угол ABE и угол ACE = угол AEC.

Теперь давайте рассмотрим угол BAI и угол CAI. Поскольку BD и CE - биссектрисы, угол BAI = угол IAC. Из угол BAI и угол CAI можно составить угол BAC:

угол BAC = угол BAI + угол IAC = угол IAC + угол CAI.

Аналогично, угол ABC можно представить как сумму угла IAB и угла IAC:

угол ABC = угол IAB + угол IAC.

Из равенства углов BAC и ABC (поскольку треугольник ABC равнобедренный) мы можем записать:

угол IAC + угол CAI = угол IAB + угол IAC.

Сокращая угол IAC с обеих сторон, мы получаем:

угол CAI = угол IAB.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и ACE снова. Мы знаем, что угол ABD = угол ABE и угол ACE = угол AEC. Также у нас есть, что угол CAI = угол IAB.

Из этих равенств мы можем сделать вывод о том, что треугольники ABD и ACE подобны по двум углам, и это означает, что соответствующие стороны пропорциональны. Так как AB = AC, стороны AD и AE также равны.

Теперь рассмотрим треугольники BDI и CEI. Поскольку BD и CE - биссектрисы, угол IBD = угол IBA и угол ICE = угол ICA. Из равенства углов IBD и ICA (по построению) и равенства углов IBA и ICA (как следствие из равнобедренности треугольника ABC) мы можем заключить, что угол IBD = угол ICA и угол ICE = угол IBA.

Теперь мы видим, что треугольники BDI и CEI также подобны по двум углам. Из подобия следует, что соответствующие стороны BD и CE пропорциональны.

Итак, мы доказали, что стороны BD и CE, биссектрисы, проведенные из вершин острых углов равнобедренного треугольника, равны.