Question

3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны ВС в точке D. Докажите, что если отрезок AD — медиана треугольника, то AB = AC. С РИСУНКОМ. отдаю все баллы!!!​

Answer 1

Центр вписанной окружности (I) - точка пересечения биссектрис.

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, ID⊥BC.

ID - высота и медиана => △BIC - равнобедренный.

IBC=ICB => B/2 =C/2 => B=C => △BAC - равнобедренный, AB=AC

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами вписанной окружности треугольника.

Пусть Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны ВС в точке D, а медиана AD.

Так как окружность касается стороны ВС, то луч AD будет являться биссектрисой угла BAC.

Рассмотрим треугольник ABD. Так как AD - медиана, она делит сторону BC пополам (то есть BD = DC).

Также из свойств биссектрисы известно, что отношение длины сторон треугольника, к которым она проведена, равно отношению длин отрезков, на которые она делит противолежащую сторону. То есть:

AB/BD = AC/CD.

Из равенства BD = DC следует, что AB = AC.

Таким образом, мы доказали, что если AD - медиана треугольника ABC, то AB = AC.