Question

Точка L не лежить у ромбі ABCD. Доведіть що (LAB) || CD​

Answer 1

Плоскость (LAB) содержит прямую АВ, АВ || CD​, значит, (LAB) || CD

Answer 2

Для доказательства того, что \( \overline{AB} \parallel \overline{CD} \) при точке \( L \), которая не лежит на ромбе \( ABCD \), давайте воспользуемся параллельными линиями и свойствами геометрии.

Рассмотрим ромб \( ABCD \):

1. В ромбе \( ABCD \), все стороны равны между собой. Пусть \( AB = BC = CD = DA \).

2. Внутренние углы ромба \( ABCD \) равны между собой, и каждый из них равен \( 90^\circ \) градусов.

Поскольку точка \( L \) не лежит на ромбе \( ABCD \), мы можем рассматривать прямую, проходящую через точку \( L \) и какую-либо из его сторон. Без ограничения общности, допустим, что точка \( L \) лежит на стороне \( AB \). Теперь нам нужно доказать, что \( \overline{AB} \parallel \overline{CD} \).

Чтобы это сделать, давайте рассмотрим углы:

\(\angle ALC\) - угол между сторонами \( AL \) и \( LC \). \(\angle LBC\) - угол между сторонами \( LB \) и \( BC \).

Если мы сможем показать, что угол \( \angle ALC \) равен углу \( \angle LBC \), то мы сможем доказать, что \( \overline{AB} \parallel \overline{CD} \) (по определению параллельных линий).

Теперь давайте рассмотрим угол \( \angle ALC \). Поскольку угол внутри треугольника \( ALC \) равен \( 180^\circ \) (сумма углов треугольника), мы можем записать:

\(\angle ALC = 180^\circ - \angle LAC - \angle ACL\)

Аналогично, угол \( \angle LBC \) можно записать как:

\(\angle LBC = 180^\circ - \angle LCB - \angle CBL\)

Поскольку ромб \( ABCD \) имеет прямые углы (все углы равны \( 90^\circ \)), то угол \( \angle LAC \) равен углу \( \angle LCB \) и угол \( \angle ACL \) равен углу \( \angle CBL \).

Таким образом, мы видим, что:

\(\angle ALC = 180^\circ - \angle LAC - \angle ACL = 180^\circ - \angle LCB - \angle CBL = \angle LBC\)

Это означает, что угол \( \angle ALC \) равен углу \( \angle LBC \), и, следовательно, сторона \( AL \) параллельна стороне \( BC \).

Таким образом, \( \overline{AB} \parallel \overline{CD} \), что и требовалось доказать.