Question

Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) Докажите, что точка О — середина гипотенузы.

Answer 1

Центральный угол соответствующий 90 градусам 180 градусов, то есть радиусы, проведенные к концам гипотенузы, составят развернутый угол, то есть прямую, а через две точки можно провести одну прямую, следовательно центр лежит на гипотенузе, так ка цент удален от концов гипотенузы на одинаковое расстояние (радиус) , то центр окружности центр гипотенузы 

Answer 2

Окружность 
1.Свойства окружности. 
1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. 
2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде. 
3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. 
4) Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния. 
5) Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны. 
6) Окружность симметрична относительно любого своего диаметра. 
7) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны. 
8) Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра. 
9) Диаметр есть наибольшая хорда окружности. 
2.Замечательное свойство окружности. Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под прямым углом (AMB = 90°), есть окружность с диаметром AB без точек A и B. 
3.Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника. 
4.Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде. 
5.Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника — середина гипотенузы. 
Это нужно запомнить и знать.Окружность симметрична относительно центра и относительно любого своего диаметра.
:)

Answer 3

Understanding the Problem

To prove that point O is the midpoint of the hypotenuse in a right-angled triangle inscribed in a circle with center O, we can use the properties of right-angled triangles and circles.

Proof

Given: - Triangle ABC is a right-angled triangle with right angle at C. - Circle O is circumscribed around triangle ABC.

To prove: - Point O is the midpoint of the hypotenuse AB.

Proof: 1. In a right-angled triangle, the hypotenuse is opposite the right angle and is the longest side. 2. In a circle, the center is equidistant from all points on the circle. 3. Let's assume that O is not the midpoint of AB. This means that O is not equidistant from A and B. 4. If O is not the midpoint, then one of the sides AO or BO is longer than the other. 5. This contradicts the fact that O is the center of the circle and is equidistant from all points on the circle. 6. Therefore, our assumption that O is not the midpoint of AB leads to a contradiction. 7. Hence, O must be the midpoint of AB.

Therefore, point O is the midpoint of the hypotenuse AB.