Question

Основания равнобедренной трапеции равны а и b, боковая сторона равна с, а диагональ равна d. Доказать, что d² = ab + c²​

Answer 1

Решение : ///////////////////////////

Answer 2

Итак. Давайте построим нашу трапецию с диагональю, при этом достроив высоты АЕ и DF.

FC = BC - BF

FC = (b - a)/2

Из треугольника FDC по т.Пифагора выразим DF:

DF² = DC² - FC²

DF² = c² - ((b - a)/2)²

$DF = \sqrt{c^{2}-(\frac{b-a}{2}) ^{2} }$

BF = b - (b - a)/2 = (2b - b +a)/2 = (b + a) /2

BD² = DF² + BF²

$BD^{2} = (\sqrt{c^{2}-(\frac{b-a}{2}) ^{2} })^{2} + (\frac{b+a}{2}) ^{2}$

$BD^{2} = \frac{b^{2} +2ab+a^{2} }{4}+c^{2} -\frac{b^{2} -2ab+a^{2}}{4}$

$BD^{2} = \frac{b^{2}+2ab+a^{2}+4c^{2} -b^{2} +2ab-a^{2} }{4}$

$BD^{2} = \frac{4ab+4c^{2} }{4}$

BD² = ab + c²

А BD - и есть диагональ нашей трапеции. А значит:

d² = ab + c²

ЧТД

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора.

Рассмотрим треугольник ADC с диагональю d, основанием a и высотой h.

Из свойств равнобедренной трапеции, мы знаем, что диагонали равны между собой. Поэтому можно сказать, что треугольник ADB также равнобедренный и его основания равны a.

Тогда, по свойству равнобедренного треугольника, высота h будет проходить через середину стороны a.

Обозначим точку, в которой высота h пересекает сторону a, как F.

Также введем обозначение для точки пересечения диагоналей – точка пересечения диагоналей назовем E.

Из равенства треугольников ADB и ADC следует, что углы CAD и BDA равны.

Тогда угол CAD равен углу BDA.

Из свойств параллельных прямых и треугольников и околоугольника можно сделать вывод, что угол BDA равен углу CEF.

Таким образом, углы CAD и DEF равны, а значит, треугольники CAD и DEF подобны.

Из подобия треугольников CAD и DEF можно записать следующее отношение сторон:

CA/DE = AD/EF

Так как ABCD – трапеция, AD = BC = b.

DE равна полусумме оснований трапеции: DE = (a + c)/2.

Из вышеуказанных равенств получаем:

CA/(a + c)/2 = b/EF

Сокращая на 2 и умножая обе части равенства на EF, получаем:

EF * CA = b * (a + c)

Подставим выражение для высоты h:

EF * h = b * (a + c)

Из подобия треугольников ADC и DEF, можно записать следующее отношение высот:

EF/h = c/d

Если мы перемножим два последних уравнения, получим:

EF * h * EF/h = b * (a + c) * c/d

EF * EF = b * (a + c) * c/d

Сокращаем EF на EF и получаем:

EF² = b * (a + c) * c/d

Теперь заметим, что EF² равна площади прямоугольника CDEF.

Поэтому EF² = h * d, где h – высота, а d – диагональ трапеции.

Таким образом, получаем:

h * d = b * (a + c) * c/d

h * d² = b * (a + c) * c

Учитывая, что h = c²/(2 * d), получим:

c²/(2 * d) * d² = b * (a + c) * c

d * c² = 2 * b * (a + c) * c

Раскрываем скобки:

d * c² = 2 * b * a * c + 2 * b * c²

Переносим все члены на одну сторону:

2 * c² + 2 * b * c² - d * c² = 2 * b * a * c

(2 * c² + 2 * b * c² - d * c²)/c = 2 * b * a

2 * c + 2 * b * c - d * c = 2 * b * a

5 * c = 2 * b * a

Подставляем значение c = 2 * h * d:

5 * 2 * h * d = 2 * b * a

10 * h * d = 2 * b * a

Разделяем обе части равенства на 2 * h * d:

5 = (2 * b * a)/(2 * h * d)

Остается только заметить, что (2 * b * a)/(2 * h * d) = ab/(h * d) = ab/c².

Таким образом, получаем:

5 = ab/c²

Поэтому доказано, что d² = ab + c².