Question

У трикутнику ABC ∠B = 900 , ∠A = 300 . Вписане коло дотикається до сторони АВ у точці Р, а до сторони АС – у точці Q; M — середина сторони AC. Доведіть, що PM = PQ.

Answer 1

Ответ:

Объяснение: Решение : //////////////////////

Answer 2

Спочатку давайте розглянемо ситуацію згідно до задачі. Маємо трикутник ABC, де \(\angle B = 90^\circ\) і \(\angle A = 30^\circ\). Також, в цьому трикутнику вписане коло дотикається до сторони AB в точці P і до сторони AC в точці Q. M - середина сторони AC.

Ми хочемо довести, що PM = PQ.

Давайте розглянемо кілька важливих рисунків і фактів:

1. Так як коло дотикається до сторін трикутника, то лінії, проведені від центру кола до точок дотику, є перпендикулярами до цих сторін. Тобто, \(BP \perp AB\) і \(CQ \perp AC\).

2. Оскільки \(\angle B = 90^\circ\), ми маємо прямокутний трикутник ABC. Таким чином, \(BC\) - гіпотенуза цього трикутника.

3. Також, оскільки \(\angle A = 30^\circ\), то \(\angle ABC = 60^\circ\).

Тепер ми маємо прямокутний трикутник ABC зі стороною \(BC\) як гіпотенузою, і \(\angle ABC = 60^\circ\). Ми можемо використовувати тригонометричні співвідношення для прямокутного трикутника.

З формули синусів:

\[\frac{AB}{\sin\angle ACB} = \frac{BC}{\sin\angle BAC}\]

Враховуючи, що \(\angle ACB = 90^\circ\) і \(\angle BAC = 60^\circ\), ми отримуємо:

\[\frac{AB}{1} = \frac{BC}{\sqrt{3}/2} \quad \text{(оскільки }\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2\text{)}\]

Звідси ми можемо виразити сторону \(BC\) через \(AB\):

\[BC = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot AB\]

Тепер ми знаємо, що \(BC\) дорівнює деякій константі помноженій на \(AB\).

Тепер розглянемо прямокутний трикутник BPC. Ми знаємо, що \(BP \perp AB\) і \(BC\) - гіпотенуза. Отже, за теоремою Піфагора:

\[BP^2 + PC^2 = BC^2\]

Підставимо значення \(BC\) з попереднього кроку:

\[BP^2 + PC^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot AB\right)^2\]

Тепер ми можемо подивитися на трикутник CPQ. Знову за теоремою Піфагора:

\[PQ^2 = BP^2 + CQ^2\]

З попереднього рівняння ми знаємо, що \(BP^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot AB\right)^2\), і оскільки \(CQ \perp AC\), то \(CQ = AC = 2 \cdot AM\).

Підставимо ці значення в останнє рівняння:

\[PQ^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot AB\right)^2 + (2 \cdot AM)^2\]

Тепер звернімо увагу, що M - середина сторони AC, тобто \(AM = \frac{1}{2} \cdot AC\). З попереднього рівняння, ми також знаємо, що \(AC = 2 \cdot BC\).

Підставимо ці значення в останнє рівняння:

\[PQ^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot AB\right)^2 + \left(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot BC\right)^2\]

Після спрощення ми отримуємо:

\[PQ^2 = \frac{4}{3} \cdot AB^2 + 4 \cdot BC^2\]

Тепер ми можемо розглянути прямокутний трикутник ABC. Знову за теоремою Піфагора:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

Підставимо значення \(AC = 2 \cdot BC\) з попереднього рівняння:

\[AB^2 = BC^2 + (2 \cdot BC)^2 = BC^2 + 4 \cdot BC^2 = 5 \cdot BC^2\]

Звідси ми можемо виразити \(BC^2\) через \(AB^2\):

\[BC^2 = \frac{1}{5} \cdot AB^2\]

Тепер підставимо це значення в рівняння для \(PQ^2\):

\[PQ^2 = \frac{4}{3} \cdot AB^2 + 4 \cdot \left(\frac{1}{5} \cdot AB^2\right) = \frac{4}{3} \cdot AB^2 + \frac{4}{5} \cdot AB^2 = \frac