Question

Коло вписане в трикутник ABC і дотикається сторони AB в точці K, сторони BC в точці E, сторони AC в точці T. Відомо що AK:KB=2:3 і CE на 6 см більше за AT. Знайдіть сторони трикутника ABC якщо периметр трикутника ABC дорівнює 146 см

Answer 1

Ответ:

Стороны треугольника равны:

АВ = $\displaystyle AB= 47\frac{6}{7}\;_{CM};\; BC= 53\frac{6}{7}\;_{CM};\;AC=44\frac{2}{7}\;_{(CM)}$

Объяснение:

Круг вписан в треугольник ABC и касается стороны AB в точке K, стороны BC в точке E, стороны AC в точке T. Известно что AK: KB=2: 3 и CE на 6 см больше AT. Найдите стороны треугольника ABC если периметр треугольника ABC равен 146 см.

Дано: ΔАВС;

Окр.О - вписана в ΔАВС;

К, Е и Т - точки касания со сторонами АВ, ВС и АС соответственно.

AK: KB=2: 3; СЕ = АТ + 6 см

Р(АВС) = 146 см.

Найти: АВ, ВС, АС.

Решение:

• Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.

AK: KB=2: 3

Пусть АК = 2х см; КВ = 3х см.

⇒ АК = АТ = 2х см; КВ = ВЕ = 3х см; ТС = СЕ = АТ + 6 см = 2х + 6 см.

• Периметр - сумма длин всех сторон треугольника.

Р(АВС) = АВ + ВС + АС

146 = АК + КВ + ВЕ + ЕС + СТ + ТА

146 = 2х + 3х + 3х + 2х + 6 + 2х + 6 + 2х

14х = 146 - 12     |:14

$x = \frac{134}{14}\\ \\\displaystyle x=\frac{67}{7}$

Найдем стороны:

$\displaystyle AB=5x=5\cdot \frac{67}{7}= \frac{335}{7} =47\frac{6}{7}$   (cм)

$\displaystyle BC=5x+6=47\frac{6}{7}+6=53\frac{6}{7}$   (см)

$\displaystyle AC=4x+6=4\cdot\frac{67}{7} +6=38\frac{2}{7}+6=44\frac{2}{7}$   (см)

#SPJ1

Answer 2

Давайте позначимо довжини сторін трикутника ABC наступним чином:

AB = a BC = b AC = c

За умовою задачі, ми знаємо, що AK:KB = 2:3, тобто AK дорівнює 2/5 від AB і KB дорівнює 3/5 від AB. Отже, ми можемо записати:

AK = (2/5) * a KB = (3/5) * a

Також, за умовою CE на 6 см більше за AT, ми можемо записати:

CE = AT + 6

Тепер ми можемо побудувати вираз для периметра трикутника ABC:

Периметр ABC = AK + KB + BC + CE + AC + AT

Підставляючи значення, які ми знайшли раніше:

146 = (2/5) * a + (3/5) * a + b + (AT + 6) + c + AT

Послідовно розкриваємо дужки:

146 = (2/5) * a + (3/5) * a + b + AT + 6 + c + AT

Тепер об'єднуємо схожі члени:

146 = (5/5) * a + (5/5) * a + b + 2 * AT + 6 + c

146 = (10/5) * a + b + 2 * AT + 6 + c

146 = 2 * a + b + 2 * AT + 6 + c

Подальше спростимо рівняння, виразивши 2 * AT:

2 * AT = 146 - 2 * a - b - 6 - c

2 * AT = 140 - 2 * a - b - c

AT = (140 - 2 * a - b - c) / 2

Тепер ми можемо виразити AT через a, b і c. Далі ми використаємо це значення, щоб розв'язати систему рівнянь.

Ми також можемо використати факт, що сума довжин сторін будь-якого трикутника завжди дорівнює його периметру:

a + b + c = 146

Тепер у нас є два рівняння з двома невідомими (AT і a, b, c). Ми можемо використовувати ці рівняння для розв'язання системи.