Question

Через диагональ нижнего основания правильной четырёхугольной призмы параллельно диагонали призмы проведено сечение. Диагональ основания призмы равна 2 корень из 5, а площадь сечения равна 10 корень из 2. Найдите диагональ призмы.

Answer 1

Так как сечение проведено параллельно диагонали призмы, то высота треугольника, полученного в сечении, параллельна диагонали призмы.

Из подобия треугольников следует, что высота сечения h равна половине диагонали D призмы: D = 2h.

h = 2S/d = 2*10√2/(2√5) = 2√10.

Ответ: Н = 2*2√10 = 4√10.

Answer 2

Давайте обозначим через D диагональ нижнего основания правильной четырёхугольной призмы и через d - диагональ сечения, проведенную параллельно диагонали призмы. Также обозначим через A площадь нижнего основания призмы и через S - площадь сечения.

У нас есть следующие данные: D = 2√5 S = 10√2

Сначала давайте найдем площадь нижнего основания призмы (A). Нижнее основание призмы - это четырехугольник, который можно разделить на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Площадь одного из этих треугольников равна:

A_tri = (1/2) * (d/2) * (D/2)

Так как это равнобедренный треугольник, d/2 = D/2, и мы можем упростить это выражение:

A_tri = (1/2) * (D/2) * (D/2) = (1/4) * D^2

Площадь всего нижнего основания призмы (A) будет равна удвоенной площади одного такого треугольника:

A = 2 * A_tri = 2 * (1/4) * D^2 = (1/2) * D^2

Теперь, у нас есть значение площади нижнего основания призмы. Мы знаем, что S = 10√2, и она представляет собой площадь сечения призмы. Площадь сечения можно выразить через площадь нижнего основания (A) и высоту сечения (h) следующим образом:

S = A * h

Подставляя известные значения:

10√2 = (1/2) * D^2 * h

Теперь мы можем найти высоту сечения (h):

h = (10√2) / ((1/2) * D^2) h = (20√2) / (D^2)

Теперь у нас есть выражение для высоты сечения через D. Мы также можем воспользоваться тем, что призма правильная, и угол между диагональю нижнего основания и боковой стороной призмы равен 90 градусов. Это позволяет нам использовать теорему Пифагора для нахождения D:

D^2 = (h^2 + (D/2)^2)

Подставляем значение h:

D^2 = ((20√2) / (D^2))^2 + (D/2)^2

D^2 = (400 * 2) / D^4 + (D^2 / 4)

Умножаем обе стороны на D^4, чтобы избавиться от дробей:

D^6 = 800 + (D^6 / 4)

Теперь объединим подобные члены:

(3/4) * D^6 = 800

Умножаем обе стороны на (4/3), чтобы изолировать D^6:

D^6 = (4/3) * 800

D^6 = 3200

Теперь извлекаем шестой корень с обеих сторон:

D = (3200)^(1/6)

D ≈ 5.144

Итак, диагональ призмы примерно равна 5.144.