Question

Точки P,T,E cоответсвенно середины рёбер АА1, А1B1 и ДД1 параллелепипеда АBCDA1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскость, проходящей через точки P,T,E. Какая фигура получится в сечении?

Answer 1

сечение -- параллелограмм

сечение пересекает параллельные плоскости ---> PT || KE

РЕ равно и параллельно AD; A1D1; TK

Answer 2

Для начала построим точки p, t, e - середины ребер АА1, А1b1 и ДД1 соответственно.

Пусть А(0, 0, 0), А1(a, 0, 0), b1(a, b, 0), b(0, b, 0), c(0, b, c), c1(a, b, c), d(a, 0, c), d1(0, 0, c).

Серединой ребра АА1 будет точка p, координаты которой будут равны средним значениям координат точек А и А1:

px = (0 + a) / 2 = a / 2, py = (0 + 0) / 2 = 0, pz = (0 + 0) / 2 = 0.

Таким образом, точка p будет иметь координаты (a / 2, 0, 0).

Аналогично найдем середину ребра А1b1 - точку t:

tx = (a + a) / 2 = a, ty = (0 + b) / 2 = b / 2, tz = (0 + 0) / 2 = 0.

Точка t будет иметь координаты (a, b / 2, 0).

Точка e - середина ребра ДД1:

ex = (0 + a) / 2 = a / 2, ey = (0 + 0) / 2 = 0, ez = (0 + c) / 2 = c / 2.

Точка e будет иметь координаты (a / 2, 0, c / 2).

Теперь построим плоскость, проходящую через точки p, t и e. Для этого можем использовать например уравнение плоскости в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0.

Подставим координаты точек p, t и e в уравнение и решим полученную систему уравнений, чтобы найти коэффициенты A, B, C и D.

(a / 2) * A + 0 * B + 0 * C + D = 0 (уравнение для точки p), a * A + (b / 2) * B + 0 * C + D = 0 (уравнение для точки t), (a / 2) * A + 0 * B + (c / 2) * C + D = 0 (уравнение для точки e).

Решив систему уравнений, найдем значения коэффициентов A, B, C и D.

Построив плоскость АВСD с полученными коэффициентами, получим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки p, t и e. Фигура, получающаяся в сечении, будет прямоугольником.