Question

В равнобедренном треугольнике АВС угол при вершине С = 36*. ВМ и АК - биссектрисы углов В и А соответственно. Найдите длину АВ, если СМ+СК=38 см. Пожалуйста, с пояснением и чертежом.

Answer 1

СМ=СК=38:2=19 см.
∠А=∠В=(180-36):2=72°
∠САК=1\2 ∠А=36°
ΔАСК - равнобедренный, значит СК=АК=19 см.
∠АКС=180-(36+36)=108°
∠АКВ=180-108=72°
ΔАКВ - равнобедренный (∠В=∠АКВ=72°), значит АВ=АК=19 см.
Ответ: 19 см.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами равнобедренных треугольников и биссектрис. Давайте разберемся подробно.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то угол при вершине C также равен 36°. Также из условия известно, что ВМ и АК являются биссектрисами углов B и A соответственно. Поскольку у нас есть две биссектрисы, мы можем воспользоваться теоремой углов биссектрисы.

Согласно теореме углов биссектрисы, отношение длины сегмента биссектрисы к прилежащим к нему сторонам треугольника равно отношению других двух сторон треугольника. Таким образом, мы можем написать два уравнения на основе биссектрис ВМ и АК:

1) \( \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} \) 2) \( \frac{AK}{KC} = \frac{AB}{AC} \)

Из условия известно, что \( CM + CK = 38 \) см. Также, зная, что угол C равен 36°, мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями, чтобы выразить CM и CK через AB.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Таким образом, давайте обозначим длину AB (или AC) как x см.

Теперь воспользуемся тригонометрическими функциями для угла 36° в равнобедренном треугольнике ACM:

\[ \tan(36°) = \frac{CM}{x} \]

Аналогично, для равнобедренного треугольника АВК:

\[ \tan(36°) = \frac{CK}{x} \]

Теперь мы можем выразить CM и CK через x:

\[ CM = x \tan(36°) \] \[ CK = x \tan(36°) \]

Суммируем эти выражения:

\[ CM + CK = 2x \tan(36°) = 38 \]

Теперь найдем x:

\[ x = \frac{38}{2 \tan(36°)} \]

\[ x ≈ \frac{38}{2 \times 0.7265} ≈ 26.16 \text{ см} \]

Таким образом, длина AB (или AC) равна приближенно 26.16 см.