Question

Дано; треугольник АВС, АВ=6 , АС = 8 , S=12 корней из 2. Найдите третью сторону треугольника, если известно, что угол А тупой.

Answer 1

Треугольник АВС, АВ=6, АС=8, площадьАВС=12*корень2=1/2*АВ*АС*sinA, 24*корень2=6*8*sinA, sinA=24*корень2/48=корень2/2 - что соответствует углу 135 , ВС в квадрате=АВ в квадрате+АС в квадрате-2*АВ*АС*cos135=36+64-2*6*8*(-корень2/2)=100+48*корень2, ВС=корень(100+48*корень2), = 12,96

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусами углов.

Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника с сторонами a, b и c, и углом C между сторонами a и b, справедливо следующее равенство:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

В данном случае, у нас есть стороны AB = 6, AC = 8 и угол A тупой. Мы обозначим третью сторону треугольника как BC.

Так как угол A тупой, то косинус этого угла будет отрицательным. Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину стороны BC.

Подставим известные значения в формулу:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)\]

\[BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(A)\]

Теперь мы можем найти косинус угла A. Так как угол A тупой, то косинус этого угла будет отрицательным. Зная, что площадь треугольника равна 12 корня из 2, мы можем выразить высоту треугольника через стороны и, следовательно, найти косинус угла A.

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A)\]

\[\sin(A) = \frac{2S}{AB \cdot AC} = \frac{2 \cdot 12\sqrt{2}}{6 \cdot 8} = \frac{24\sqrt{2}}{48} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь мы можем найти косинус угла A:

\[\cos(A) = \sqrt{1 - \sin^2(A)} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь мы можем найти длину стороны BC:

\[BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[BC^2 = 36 + 64 - 48\sqrt{2}\]

\[BC^2 = 100 - 48\sqrt{2}\]

\[BC = \sqrt{100 - 48\sqrt{2}}\]

Таким образом, третья сторона треугольника ABC равна \(\sqrt{100 - 48\sqrt{2}}\).