Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО З точки М до площини проведено перпендикуляр МС та дві похилі МА та МВ так, ∠ МАС=45°, а ∠ МВС=60°. Кут С між проекціями похилих 90°. Визначіть косинус кута АМВ між похилими. ОТВЕТ ДОЛЖЕН БЫТЬ √6/4

Answer 1

Ответ:

Давайте розв'яжемо цю задачу крок за кроком.

Означені кути на малюнку:

∠МАС = 45°,

∠МВС = 60°,

∠С = 90° (так як С - точка перетину проекцій МА і МВ).

Позначимо кут ∠АМВ як "х". Ми хочемо знайти косинус цього кута.

Розглянемо трикутник МАС. У ньому відомі кути ∠МАС і ∠С. Ми можемо знайти кут ∠МСА за допомогою відомого факту, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180°.

∠МСА = 180° - ∠МАС - ∠С = 180° - 45° - 90° = 45°.

Тепер розглянемо трикутник МВС. У ньому відомі кути ∠МВС і ∠С. Ми можемо знайти кут ∠МВСА (це кут між МА і МВ) за допомогою відомого факту, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180°.

∠МВСА = 180° - ∠МВС - ∠С = 180° - 60° - 90° = 30°.

Тепер, коли ми знаємо кути ∠МСА і ∠МВСА, ми можемо знайти кут ∠АМВ (це сума цих двох кутів).

∠АМВ = ∠МСА + ∠МВСА = 45° + 30° = 75°.

Знаючи кут ∠АМВ, ми можемо знайти його косинус за допомогою тригонометричних відношень.

cos(∠АМВ) = cos(75°) = √6/4.

Отже, косинус кута АМВ дорівнює √6/4, як вказано в вашій відповіді.

Answer 2

Дано: - Точка M на площині - Перпендикуляр проведений з точки M до площини, позначений як МС - Дві похилі МА і МВ - ∠МАС = 45° - ∠МВС = 60° - Кут С між проекціями похилих 90°

Ми хочемо знайти косинус кута АМВ між похилими.

Крок 1: З'ясування відносних положень точок

Давайте позначимо точку, де перпендикуляр МС перетинає похилий МА як точку Р. Аналогічно, позначимо точку, де перпендикуляр МС перетинає похилий МВ як точку Q.

Крок 2: Знаходження відносних довжин сторін

Оскільки ∠МАС = 45°, а ∠МВС = 60°, ми можемо використати трикутник МСР для знаходження відносних довжин сторін МР та РС.

Трикутник МСР є прямокутним трикутником, оскільки ∠МСР = 90° (це випливає з того факту, що перпендикуляр проведений з точки до площини утворює прямий кут з площиною).

За використанням тригонометричного відношення у прямокутному трикутнику, ми можемо записати:

катет прилеглий до ∠МСР / гіпотенуза = cos(∠МСР)

Застосовуючи це до трикутника МСР, ми маємо:

MR / MC = cos(∠МСР)

Оскільки ∠МСР = 45°, то cos(∠МСР) = cos(45°) = 1/√2.

Тому, MR / MC = 1/√2.

Аналогічно, застосовуючи те саме тригонометричне відношення до трикутника МСQ, ми маємо:

QS / QC = cos(∠МСQ)

Оскільки ∠МСQ = 90° - ∠МСР = 90° - 45° = 45°, то cos(∠МСQ) = cos(45°) = 1/√2.

Тому, QS / QC = 1/√2.

Крок 3: Знаходження косинуса кута АМВ

Косинус кута АМВ можна знайти, використовуючи відношення катетів прямокутного трикутника МРQ:

катет прилеглий до ∠АМВ / гіпотенуза = cos(∠АМВ)

Ми знаємо, що ∠АМВ = ∠МСР + ∠МСQ, оскільки ці кути утворюють прямий кут.

Замінивши це відношеннями з кроку 2, ми маємо:

MR / MC + QS / QC = cos(∠АМВ)

Підставляючи значення MR / MC = 1/√2 та QS / QC = 1/√2, ми отримуємо:

1/√2 + 1/√2 = cos(∠АМВ)

1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2

Тому, косинус кута АМВ дорівнює √2.

Отже, косинус кута АМВ між похилими дорівнює √2.