Question

Биссектрисы углов, образованных противоположными сторонами выпуклого четырёхугольника перпендикулярны. Докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность

Answer 1

MO - биссектриса и высота, △EMF - равнобедренный, ∠MEF=∠MFE

∠MFE=∠NFC (вертикальные углы) => ∠MEF=∠NFC

∠ANE=∠CNE (NE - биссектриса) => ∠A=∠BCN (из △ANE, △CNF)

Внешний угол равен противоположному внутреннему => ABCD - вписанный четырехугольник.

Answer 2

Чтобы доказать, что около данного выпуклого четырёхугольника можно описать окружность, нужно показать, что все точки четырёхугольника лежат на одном и том же расстоянии от определенной точки - центра окружности. Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Проведем биссектрисы углов BAD и BCD, и пусть их пересечение будет точкой O. По определению биссектрисы угла, точка O делит угол BAD на два равных угла, а также угол BCD на два равных угла. Таким образом, угол BAO равен углу OAD, а угол BCО равен углу OCD. Заметим также, что углы BAO и BCO являются вертикальными углами, поэтому они равны между собой. Таким образом, получаем, что углы OAD, OCD и BAO, BCO равны между собой. Из равенства углов следует, что треугольники AOD и COB подобны, так как у них соответственные углы равны. Также, треугольники AOB и COD подобны по той же причине. Из подобия треугольников следует, что отношения длин боковых сторон в каждой паре треугольников равны. Другими словами, отношения AO/OD = BO/OC и AO/OB = DO/OC. Теперь рассмотрим треугольник AOC. Из трех равенств, полученных ранее, следует, что отношение AO/OD должно быть равно отношению AO/OB, что в свою очередь равно отношению BO/OC. Таким образом, все три стороны треугольника AOC делятся точкой O в одном и том же отношении, а это означает, что данная точка O является центром окружности, которая проходит через вершины четырёхугольника ABCD. Таким образом, мы доказали, что около данного выпуклого четырёхугольника можно описать окружность, центр которой является точкой пересечения биссектрис углов, образованных противоположными сторонами.