Question

Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырехугольника, равны. Докажите, что диоганали этого четырехугольника перпендикулярны

Answer 1

   Пусть дан четырёхугольник АВСD. Точка К - середина АВ, т.М - середина ВС,   N и Т - середины СD и DA соответсвенно. По условию КN=ТМ. Проведем диагонали АС и ВD. Соединим середины сторон треугольников АВС, ВСD, CDA и DAB. В треугольниках АВС и АDC средние линии параллельны и равны половине диагонали АС исходного четырехугольника.⇒ КМ параллельна и равна ТN. Аналогично доказывается  КТ=МN. Противоположные стороны КМNТ параллельны и равны.  КМNТ - параллелограмм с равными диагоналями ( КN=МТ по условию), т.е. КМNТ - прямоугольник. А раз стороны КМNТ пересекаются под прямым углом, то и диагонали четырехугольника АВСD, которым они параллельны, также пересекаются под прямым углом, ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности диагоналей четырехугольника, соединяющих его противоположные вершины, воспользуемся свойствами медиан и координатами точек. Возьмем четырехугольник ABCD, где AB и CD - противоположные стороны, а AC и BD - диагонали. По условию, отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Значит, точка M, середина AB и точка N, середина CD, также равноудалены от точек A и B. Рассмотрим треугольник ABC. Так как точка M является серединой стороны AB, то отрезок AM равен отрезку BM, и точка M равноудалена от точек A и B. Аналогично, точка N равноудалена от точек C и D. Покажем, что отрезок AC перпендикулярен отрезку BD. Для этого достаточно доказать, что их угловые коэффициенты отрезков противоположны и обратно пропорциональны. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), вычисляется по формуле k = (y2 - y1) / (x2 - x1). Рассмотрим отрезок AC. Координаты его концов A(xA, yA) и C(xC, yC). Угловой коэффициент прямой AC равен kAC = (yC - yA) / (xC - xA). Теперь рассмотрим отрезок BD. Координаты его концов B(xB, yB) и D(xD, yD). Угловой коэффициент прямой BD равен kBD = (yD - yB) / (xD - xB). Для доказательства перпендикулярности диагоналей необходимо показать, что kAC * kBD = -1. Аккуратно тут заметим, что необходимо доказать только необходимое условие для перпендикулярности - скалярное произведение векторов, соответствующих диагоналям, равно нулю! Теперь найдем координаты точек середин M(xM, yM) и N(xN, yN). Так как точки M и N равноудалены от своих концов, то: (xM + xA)/2 = (xM + xB)/2, что равносильно xM = (xA + xB) / 2 (yM + yA)/2 = (yM + yB)/2, что равносильно yM = (yA + yB) / 2 (xN + xC)/2 = (xN + xD)/2, что равносильно xN = (xC + xD) / 2 (yN + yC)/2 = (yN + yD)/2, что равносильно yN = (yC + yD) / 2 Теперь найдем угловые коэффициенты отрезков AM и CN: kAM = (yM - yA) / (xM - xA) = ( ((yA + yB) / 2) - yA) / ( ((xA + xB) / 2) - xA) = (yB - yA) / (xB - xA) kCN = (yC - ((yC + yD) / 2)) / (xC - ((xC + xD) / 2)) = (yC - yD) / (xC - xD) Таким образом, kAM = -kCN, что равносильно kAC * kBD = -1. Доказано, что диагонали AC и BD перпендикулярны.

Answer 3

Для доказательства перпендикулярности диагоналей выпуклого четырехугольника, соединяющих середины противолежащих сторон, можно воспользоваться свойством параллелограмма. Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, M и N - середины сторон AB и CD соответственно, а P и Q - середины сторон BC и AD соответственно. Так как M и N являются серединами сторон AB и CD, то MN || AB и MN = 1/2 * AB. Аналогично, так как P и Q являются серединами сторон BC и AD, то PQ || BC и PQ = 1/2 * BC. Так как MN || AB и PQ || BC, то по свойству параллелограмма имеем, что MNPQ - параллелограмм. Далее, рассмотрим диагонали MP и NQ параллелограмма MNPQ. Пусть O - точка пересечения диагоналей MP и NQ. Так как MNPQ - параллелограмм, то MO = NP и NO = MQ. Но также из условия задачи известно, что MN = PQ. Из этих равенств следует, что треугольники MON и QOP равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне MO = NP, стороне NO = MQ и углу MON = QOP). Следовательно, угол MON равен углу QOP. Но угол MON и угол QOP являются вертикальными углами, так как они образованы пересекающимися прямыми MN и PQ. Из равенства углов MON и QOP и их вертикальности следует, что диагонали MP и NQ являются перпендикулярными. Таким образом, доказано, что диагонали, соединяющие середины противолежащих сторон выпуклого четырехугольника, перпендикулярны.