Question

В конус вписана пирамида. Основанием которой служит треугольник, катет которого равен 2А, а прилежащий угол равен 30 градусов.Боковая грань пирамиды проходящая через данный катет составляет с плоскостью основанием угол 45 градусов.Найдите объем конуса

Answer 1

  Ось конуса проходит через середину гипотенузы треугольника в основании вписанной пирамиды. Эта гипотенуза есть диаметр круга в основании конуса, и равен 2а / cos 30 = 2a /(V3/2) = 4a / V3, а радиус - 2а / V3.

  Второй катет треугольника, образованный радиусом, половиной катета 2а / 2 = а, равен половине радиуса, т.е. а / V3.

  Этот катет и составляет с высотой боковая грани угол 45 градусов.

Поэтому высота конуса равна этому катету - a / V3.

  Площадь круга в основании конуса S = п r^2 = 4пa^2 / 3,

Объём конуса V = 1 / 3 S H = 1 / 3(( 4пa^2) / 3) * a / V3 = 4пa^3 / 9V3.

 

Answer 2

Для начала, найдем длину основания треугольника. Так как катет треугольника равен 2А, то гипотенуза (сторона треугольника) будет равна 2А√3 по теореме Пифагора (так как прилежащий угол равен 30 градусов). Пусть АВС - основание треугольника, где А и В - вершины, а С - середина стороны АВ (расположена на диаметре вписанного круга). Тогда, длина стороны АС будет равна АС = АС√3/2 = 2А√3/2 = А√3. Теперь, находим высоту пирамиды (расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания). Так как боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол 45 градусов, то она является высотой пирамиды. Поскольку она проходит через катет треугольника, то ее длина равна 2А. Теперь можем найти объем конуса. Формула объема конуса V = 1/3 * S * h, где S - площадь основания конуса, h - высота конуса. Площадь основания конуса - площадь треугольника, S = 1/2 * А√3 * 2А = А^2√3. Высота конуса - высота пирамиды, h = 2А. Теперь подставляем значения в формулу: V = 1/3 * А^2√3 * 2А = 2/3 * А^3√3 Таким образом, объем конуса равен 2/3 * А^3√3.