Question

В конус вписана пирамида. основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30°. боковая грань пирамиды,проходящая через данный катет,составляет с плоскостью основания угол 45°. найдите объем конуса.

Answer 1

В конус вписана пирамида. основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды,проходящая через данный катет,составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем конуса.

V=S•H:3

Для ответа на вопрос задачи нужно найти радиус основания конуса и его высоту ( она равна высоте вписанной пирамиды).

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник. Следовательно, радиус основания конуса, как описанной окружности,  равен половине гипотенузы вписанного треугольника. 

Пусть это ∆ АВС,  ∠С=90º, ∠А=30º; АС=2а

Гипотенуза АВ=АС:cos 30º=4a/√3

Тогда R=АО=ВО=ОС=2a/√3

Катет ВС=2a/√3 как противолежащий углу 30º

Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен углу между перпендикулярами, проведенными к О и М из точки К катета АС (МК - наклонная, ОК - ее проекция, МК и ОК перпендикулярны АС по т. о трех перпендикулярах). К - середина основания АС равнобедренного ∆ АОС 

Т.к. угол ОКА=90º, ОК|| ВС и является средней линией ∆ АВС и равна половине ВС. 

ОК=ВС:2=а/√3 

Высота пирамиды МО перпендикулярна плоскости основания, угол МКО=45º  по условию, и ∆ МОК - равнобедренный. МО=ОК=а/√3

S осн. конуса=πR²=4π•a²/3 

V=[(4π•а²/3)•a/√3]:3=4π•a³/√3 (ед. объема) 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство подобия фигур.

Обозначим высоту конуса через h и радиус основания конуса через r.

Так как боковая грань пирамиды, проходящая через катет, составляет с плоскостью основания угол 45°, то она будет образовывать с высотой конуса угол 45°.

Также, учитывая, что прилежащий угол треугольника, служащего основанием пирамиды, равен 30°, мы можем определить, что противолежащий этому углу катет треугольника равен a.

Используя свойства тригонометрии, мы можем найти значение высоты пирамиды:

h = a * tan(45°) = a

Теперь нам нужно найти радиус основания конуса (r). Для этого мы можем использовать подобие треугольников.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, основанием которого служит катет треугольника, равный 2a, а противолежащий угол равен 30°. В этом треугольнике противолежащая сторона будет равна a * sqrt(3) (с помощью тригонометрических соотношений).

Таким образом, основание пирамиды (прямоугольный треугольник) имеет ширину a * sqrt(3).

Теперь, используя подобие треугольников между основанием пирамиды и основанием конуса, мы можем записать следующее соотношение:

(r / (a * sqrt(3))) = (h / a)

Подставляя значение высоты конуса h = a, получаем:

(r / (a * sqrt(3))) = (a / a) (r / (a * sqrt(3))) = 1

Отсюда находим радиус основания конуса:

r = a * sqrt(3)

Теперь мы можем найти объем конуса, используя формулу:

V = (1/3) * π * r^2 * h

Подставляя значения r = a * sqrt(3) и h = a, получаем:

V = (1/3) * π * (a * sqrt(3))^2 * a V = (1/3) * π * 3 * a^3 * a V = π * a^4

Таким образом, объем конуса равен π * a^4.