Question

Точка K-середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми BK и CD.

Answer 1

Так как ребро СД перпендикулярно грани ВВ1С1С, то любая прямая в этой плоскости, в том числе и ВК, перпендикулярна СД.

Ответ: угол между прямыми BK и CD равен 90 градусов.

Answer 2

Чтобы найти угол между прямыми BK и CD, мы должны сначала найти векторные представления этих прямых.

Прямая BK проходит через точки B и K. Вектор, направленный от точки B к точке K, можно найти путем усреднения координат векторов B и C₁, так как K - середина ребра CC₁. Записывая это в виде векторного уравнения, получим:

BK = (1/2)(BC₁) = (1/2)(C₁ - B)

Аналогично, прямая CD проходит через точки C и D. Вектор, направленный от точки C к точке D, можно записать как D - C.

Теперь мы можем найти угол между прямыми BK и CD, используя свойство скалярного произведения. Угол между векторами a и b можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (a • b) / (|a||b|)

где а • b - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.

Заметим, что векторы BK и CD, полученные ранее, имеют общую точку (точку C). Поэтому мы будем использовать точку C в качестве общей точки при рассмотрении скалярного произведения.

Таким образом, скалярное произведение векторов BK и CD можно записать следующим образом:

BK • CD = (1/2)(C₁ - B) • (D - C)

Теперь мы можем найти длины векторов BK и CD и вычислить угол между ними.

Длина вектора BK равна |BK| = |(1/2)(C₁ - B)| = (1/2)|C₁ - B|

Длина вектора CD равна |CD| = |D - C|

Таким образом, угол между прямыми BK и CD равен:

θ = arccos((BK • CD) / (|BK||CD|)) = arccos(((1/2)(C₁ - B) • (D - C)) / ((1/2)|C₁ - B||D - C|))