Question

Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка F - середина стороны CD. Докажите, что BF - биссектриса угла ABC.

Answer 1

Рассмотрим треугольник BCF. Т.к. по условию CF=CD/2=BC, то этот треугольник равнобедренный и <CBF=<BFC = (180 - <C)/2
В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180. Значит угол ABC= 180 - <A = 180 -<C, а 
< ABF= <ABC - <CBF = (180 -<C) - (180 - <C)/2 = 180- <C)/2,
т.е. < CBF = <ABF, т.е. BF - биссектриса <ABC 

Answer 2

Чтобы доказать, что отрезок BF является биссектрисой угла ABC, мы должны показать, что он делит угол ABC на два равных угла. Для этого воспользуемся свойствами параллелограмма и обозначим отрезок BC как a, отрезок CD как 2a (так как сторона CD вдвое больше стороны BC), отрезок BF как b (так как F - середина стороны CD) и углы ABC и ADC как α и β соответственно.

Так как сторона CD параллельна стороне AB, то угол BCD и угол ABC являются соответственными углами (параллельные прямые пересекаются при образовании соответственных углов). Поэтому угол ABC равен углу BCD, то есть α = β.

Мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD = 2a и BC = AD = a.

Также, так как F - середина стороны CD, то FB = FD = a.

Мы хотим показать, что угол ABF равен углу DBF. Для этого рассмотрим треугольник AFB.

У нас есть две равные стороны: AB = 2a (по свойствам параллелограмма) и FB = a (так как F - середина стороны CD).

Также мы знаем, что угол AFB равен углу DFB, так как они являются вертикальными углами (это происходит из-за параллельности прямых AB и CD).

Поэтому треугольники AFB и DFB являются равными по двум сторонам и углу, следовательно, угол ABF равен углу DBF.

Таким образом, отрезок BF действительно является биссектрисой угла ABC, так как он делит его на два равных угла.