Question

В прямой угол вписан круг. Хорда, соединяющая точки касания равна 2см.найти расстояние от центра до хорды.

Answer 1

Построим окружность с центром в т. О

Из точки вне окр-ти А проведем к ней 2 касательные АВ и АС так, чтобы угол А=90°. Соединим т.О с т.В и С.

ОВ и ОС - радиусы. По свойству радиусов, проведенных в т. касания,

ОВ⊥АВ и ОС⊥АС

АВОС - прямоугольник. (Все углы прямые) Т.к. ОВ=ОС, то

АВОС - квадрат. ВС - диагональ квадрата=2 см.

Диагонали квадрата ВС и АО=2 см и точкой пересечения

делятся пополам. Диагонали квадрата ⊥ друг другу ⇒

искомое расстояние = 1 см. Это ответ.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной ⊥, опущенного из точки на прямую.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством окружности: радиус, проведённый к хорде, является биссектрисой соответствующего угла около хорды.

Пусть центр окружности обозначен буквой O, точки касания хорды с окружностью - A и B, точку пересечения биссектрисы с хордой - С.

Так как хорда AB соединяет точки касания, то она перпендикулярна радиусам AO и BO. Обозначим половину хорды как a=AB/2=1 см.

Так как OC является биссектрисой угла AOB, то AC=CB. Обозначим расстояние от центра окружности до хорды как х.

Из прямоугольного треугольника AOC, применяя теорему Пифагора, получим:
AO^2 = AC^2 + OC^2

Так как AC=CB и OC=x, а AO равен радиусу окружности, обозначенному как R, получим:
R^2 = (a+x)^2 + x^2

Разложим квадрат R^2 и решим полученное квадратное уравнение относительно x:
R^2 = a^2 + 2ax + x^2 + x^2
2x^2 + 2ax + a^2 - R^2 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен D=4(a^2 - R^2). Расстояние от центра до хорды x будет максимально, когда D будет равно нулю.

Таким образом, решая уравнение D=0, получаем:
4(a^2 - R^2) = 0
a^2 - R^2 = 0
a^2 = R^2
1 = R^2
R = 1

Итак, радиус окружности R равен 1 см.

Подставляя значение радиуса окружности в квадратное уравнение, получим:
2x^2 + 2ax + a^2 - R^2 = 0
2x^2 + 2x + 1 - 1 = 0
2x^2 + 2x = 0
2x(x + 1) = 0

Из этого уравнения следует, что x=0 или x=-1. Однако, в данной задаче рассматривается только положительное значение расстояния. Значит, x=0 не подходит.

Таким образом, расстояние от центра до хорды равно 1 см.