Question

Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно 20 см, а разность площадей их поверхностей составляет 160П см^2. Определите радиусы шаров.

Answer 1

Так как окружности касаются, то r1+r2=20 см. Площадь поверхности круга S=πr². Разность площадей поверхностей π(r1)²-π(r2)²=160π. Отсюда (r1)²-(r2)²=160. Преобразуем разность квадратов (r1+r2)(r1-r2)=160. Так как r1+r2=20, то 20(r1-r2)=160, отсюда получаем r1-r2=160/20=8, далее r1=8+r2. Подставляем это в r1+r2=20. Получаем 8+r2+r2=20, отсюда r2=6. Тогда r1=20-6=14

Answer 2

Пусть радиусы этих окружностей равны r и R, где r — радиус меньшей окружности, а R — радиус большей окружности.

Так как расстояние между центрами окружностей равно 20 см, то AB = 20 см.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АВС со сторонами r, R и AB:

AB^2 = AC^2 + BC^2

20^2 = (R - r)^2 + (R + r)^2

400 = R^2 - 2Rr + r^2 + R^2 + 2Rr + r^2

400 = 2R^2 + 2r^2

200 = R^2 + r^2 ----(1)

Также известно, что разность площадей поверхностей шаров равна 160П см^2:

4ПR^2 - 4Пr^2 = 160П

4П(R^2 - r^2) = 160П

R^2 - r^2 = 40

Из уравнения (1) получаем:

R^2 = 200 - r^2

Подставляем это выражение в уравнение выше:

200 - r^2 - r^2 = 40

2r^2 = 160

r^2 = 80

r ≈ 8,94 см

Из уравнения (1) находим значение R:

R^2 = 200 - 80 ≈ 120

R ≈ 10,95 см

Таким образом, радиус меньшего шара составляет примерно 8,94 см, а радиус большего шара составляет примерно 10,95 см.