Question

Привет, решите пожалуйста на листочке <3 Точка O - точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AC и BC треугольника ABC - и принадлежит его стороне AB. Докажите, что:1) Точка O - середина отрезка AB;2) Угол ABC = Угол A + Угол B.

Answer 1

я написал краткое решение на листочке ===>>

Answer 2

Привет! Давайте рассмотрим каждую часть задачи:

1. Точка O - середина отрезка AB.

Обозначим середины сторон AC и BC как M и N соответственно. Так как O - точка пересечения серединных перпендикуляров, то OM и ON - это середины соответственных сторон.

Также, если O принадлежит стороне AB, то OM и ON равны (по определению середины отрезка). Значит, треугольник MON - это равнобедренный треугольник, и следовательно, MO = NO.

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Так как MO = NO и AO = BO (так как O - точка пересечения серединных перпендикуляров), то треугольник AOB - это равнобедренный треугольник.

Отсюда следует, что O находится на высоте треугольника ABC, проведенной из вершины C. Так как высота делит основание пополам, O - середина отрезка AB.

Таким образом, первое утверждение доказано.

2. Угол ABC = Угол A + Угол B.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольники AOC и BOC.

У нас уже есть, что AO = BO (по построению), и угол OAC = угол OBC (по построению перпендикуляров).

Теперь докажем, что угол ACO = угол BCO:

Так как O - середина отрезка AB, то угол ACO = угол BCO (по свойству серединного перпендикуляра).

Таким образом, у нас есть два равных угла и равные стороны, следовательно, треугольники AOC и BOC подобны.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие углы равны. Таким образом, угол ABC = угол A + угол B.

Оба утверждения доказаны.