Question

Докажите что симметрия относительно точки есть движение

Answer 1

Движение — преобразование, при котором сохраняются расстояние между точками.

Пусть А и В произвольные точки. А симметричные им относительно точки О, А' и В'. Тогда

ОВ = ОВ' и ОА = ОА' так как О - точка симметрии и ∠ВОА = ∠В'ОА' — вертикальные углы. Так что ΔАОВ = ΔА'ОВ' (по 1-му признаку), значит, АВ = А'В'. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для начала, давайте разберемся в определениях.

1. Симметрия относительно точки (поворот): Это преобразование, при котором каждая точка плоскости вращается вокруг определенной точки на определенный угол, при этом расстояние от каждой точки до центра вращения остается неизменным.

2. Движение (аффинное преобразование): Это биективное (взаимно однозначное) отображение плоскости на себя, которое сохраняет прямые и расстояния между точками.

Теперь рассмотрим симметрию относительно точки и проверим, что она является движением.

Пусть у нас есть плоскость с центром симметрии в точке $O$, и пусть $A$ и $A'$ - две точки до и после симметрии соответственно. Тогда расстояние между точками $OA$ и $OA'$ останется неизменным, так как симметрия относительно точки не изменяет расстояния.

Теперь докажем, что симметрия относительно точки сохраняет прямые. Возьмем произвольную прямую, не проходящую через точку $O$, и рассмотрим ее отражение. Пусть $B$ и $B'$ - две точки на этой прямой до и после симметрии соответственно. Поскольку $OB$ и $OB'$ равны (по свойству симметрии относительно точки), прямая, соединяющая $O$ и $B$, совпадает с прямой, соединяющей $O$ и $B'$. Это означает, что симметрия относительно точки сохраняет прямые.

Таким образом, симметрия относительно точки соответствует определению движения (аффинного преобразования) плоскости, так как она сохраняет расстояния между точками и прямые линии.