Question

Доказательство что в правильном тетраэдре отрезки соединяющие центры граней равны друг другу

Answer 1

На мой взгляд пределы шире:
минимум суммы равен 2п — наклоняем высоту тетраэдра, чтобы она легла на плоскость основания, тогда будут два угла по п (один между основанием и боковой гранью, другой – между двумя боковыми гранями, остальные равны нулю)
максимум 3.5п – при неограниченном увеличении высоты (между боковыми гранями сумма углов стремится к п, а углы между основаниями и боковыми гранями к п/2 каждый).

Answer 2

Для доказательства этого утверждения о том, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры его граней, равны друг другу, можно воспользоваться методом векторов и свойствами правильных тетраэдров.

Давайте предположим, что у нас есть правильный тетраэдр ABCD, где ABC - треугольник, и D - вершина, которая не лежит в плоскости ABC. Поскольку тетраэдр правильный, все его грани равны и подобны друг другу.

Теперь давайте обозначим центры граней следующим образом:

M1 - центр грани ABC, M2 - центр грани ABD, M3 - центр грани ACD, M4 - центр грани BCD.

Мы хотим доказать, что отрезки M1M2, M1M3 и M1M4 равны.

Рассмотрим векторы:

Вектор MA - это вектор, направленный от вершины M1 к вершине A.

Так как грани ABC и ABD равны и подобны, то центры этих граней (M1 и M2) равноудалены от вершины A. То есть, векторы MA и M2A равны по длине и направлению.

Аналогично, векторы MA и M3A равны, так как грани ABC и ACD равны и подобны.

И, наконец, векторы MA и M4A равны, так как грани ABC и BCD равны и подобны.

Теперь у нас есть следующее:

M1M2 = M1A + M2A M1M3 = M1A + M3A M1M4 = M1A + M4A

Из вышесказанного следует, что M1M2, M1M3 и M1M4 равны, так как векторы M1A, M2A, M3A и M4A равны и направлены в одном и том же направлении. Таким образом, в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры его граней, равны друг другу.