Question

Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна S.  Найдите длину стороны основания пирамиды, если угол между плоскостями боковой грани и основания равен  α 

Answer 1

Сходя из того, что по условию задачи любая апофема создаёт с высотой угол 45 градусов, то пирамида является правильной. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды - S = 1/2 Pa, где P - периметр основания, a - апофема боковой грани. Апофема образует с высотой пирамиды и отрезком, проведенным из точки пересечения высоты и основания на сторону основания прямоугольный треугольник. Это следует из определения высоты пирамиды - она образует с плоскостью основания прямой угол. 

Данный треугольник является равнобедренным, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, один из углов прямой, тогда 180 - 90 - 45 = 45. Поскольку оба угла равны - треугольник равнобедренный. 

Таким образом, длина стороны основания равна удвоенной высоте пирамиды (треугольник равнобедренный, поэтому второй катет равен высоте пирамиды, а он же равен половине стороны, поскольку пирамида является правильной). 

Исходя из того, что оба катета треугольника, образованного высотой пирамиды и отрезком, проведенным к боковой грани равны, то по теореме Пифагора апофема пирамиды равна 

a = sqrt( 42 + 42 ) = sqrt( 32 ) = 4 sqrt( 2 ) , четыре корня из двух 

Периметр равен 4 * 2 * 4 = 32 см, таким образом 

S = 1/2 Pa = 1 / 2 * 32 * 4 sqrt( 2 ) = 64 sqrt( 2 ) , 64 корня из двух 

Ответ: 64 корня из двух

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим длину стороны основания пирамиды через "a". Угол между плоскостью боковой грани и основанием равен α. Рассмотрим треугольник, образованный боковой гранью пирамиды, половиной стороны основания и высотой пирамиды. Этот треугольник является прямоугольным треугольником, где:

1. Половина стороны основания (a/2) - это один катет.
2. Высота пирамиды (h) - это другой катет.
3. Гипотенуза этого треугольника - это боковая грань пирамиды.

Мы можем использовать тригонометрические соотношения для этого прямоугольного треугольника. Нам нужно найти длину стороны боковой грани, которую мы обозначим как "l".

Мы знаем, что:

cos(α) = (a/2) / l

l = (a/2) / cos(α)

Теперь мы можем использовать формулу для площади боковой грани пирамиды:

S_бок = (1/2) * l * h

Теперь нам нужно выразить высоту "h" через сторону основания "a". Мы можем использовать тот же треугольник:

sin(α) = h / (a/2)

h = (a/2) * sin(α)

Теперь мы можем подставить это значение обратно в формулу для площади боковой грани:

S_бок = (1/2) * [(a/2) / cos(α)] * [(a/2) * sin(α)]

Теперь мы знаем, что полная площадь боковых граней равна S, поэтому:

S = 4 * S_бок

Подставляем значение S_бок:

S = 4 * [(1/2) * [(a/2) / cos(α)] * [(a/2) * sin(α)]]

S = 2 * [(a/2) / cos(α)] * [(a/2) * sin(α)]

Теперь упростим это уравнение:

S = (a^2 * sin(α)) / (2 * cos(α))

Теперь, чтобы найти "a", выразим его из этого уравнения:

a^2 = (2 * S * cos(α)) / sin(α)

a = sqrt((2 * S * cos(α)) / sin(α))

Это даст вам длину стороны основания пирамиды.