Question

В треугольнике MNP  MN=NP=PM Докожите что его высота PH равна его биссектрисе NT

Answer 1

Треугольник MNP равносторонний, значит и равнобедренный. Если PH - высота, то она является и медианой и биссектриссой. Значит MH=NH и угол MPH=NPH. По условию NT - биссектрисса, а так как MNP - равнобедренный треугольник, то NT - высота и медиана, тогда MT=TP и угол MNT=TNP, а так как MNP - равносторонний, то MH=NH=MT=TP. Тогда треугольник PHN = PHM

Answer 2

Для доказательства равенства высоты PH и биссектрисы NT в треугольнике MNP, давайте воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника.

У нас уже есть информация о том, что MN = NP = PM. Поскольку треугольник MNP равнобедренный, это означает, что у него также равны углы при основании, то есть угол M = угол P.

Теперь рассмотрим треугольник MHP. В нем у нас есть следующие данные:

1. Угол MHP = 90 градусов (поскольку высота перпендикулярна к основанию).
2. Угол M = угол P (по свойствам равнобедренного треугольника).

Аналогично, рассмотрим треугольник NTP. В нем у нас есть следующие данные:

1. Угол NTP = 90 градусов (поскольку высота перпендикулярна к основанию).
2. Угол N = угол P (по свойствам равнобедренного треугольника).

Теперь мы видим, что угол MHP равен углу NTP, и угол M равен углу N. Следовательно, по угловой теореме, треугольники MHP и NTP подобны (по углам).

Из подобия треугольников MHP и NTP следует, что соответствующие стороны пропорциональны. В данном случае, это сторона PH и сторона NT.

Таким образом, мы доказали, что высота PH и биссектриса NT треугольника MNP равны.