Question

 1) В трапеции ABCD с основаниями AD=8 см, BC=3 см, точка К - середина AD. Диагональ FC пересекается с BK в точке М. Найти отношение BM к MK. 2) В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла BAD пересекает ВС в точке К, а продолжение CD - в точке F, CF относится к FD как 2 к 5. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 64 см.С меня - лучшее решение.     Надеюсь, столько пунктов достаточно?

Answer 1

1) В трапеции ABCD с основаниями AD=8 см, BC=3 см, точка К - середина AD.

Диагональ AC (здесь была опечатка FC)  пересекается с BK в точке М. Найти отношение BM к MK.

РЕШЕНИЕ

сделаем построение по условию

AC -диагональ

треугольники  BMC  ~ AMK - подобные по двум углам (признак подобия)

< BMC ,  < AMK  -вертикальные  (равны)

< СBM ,  < AКM  -скрещивающиеся (равны)

АК = AD/2=8/2 = 4см

коэффициент подобия треугольников  k=BC: AK= 3:4

соответствующие стороны треугольников  имеют такое же отношение

BM :MK = BC: AK= 3:4

ОТВЕТ  BM :MK = 3:4

 

2) В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла BAD пересекает ВС в точке К,

а продолжение CD - в точке F, CF относится к FD как 2 к 5.

Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 64 см.

РЕШЕНИЕ

сделаем построение по условию

< BAK = <KAD - AK -биссектриса  острого угла  BAD

<KAD  = <FKC - соответственные

<FCK  = <FDA - соответственные

<FKC = <AKB  - вертикальные

< BAK = <KFC - накрестлежащие

CF : FD = 2 : 5  - по условию, тогда CF : СD = 2 : 3 - из первого отношения

треугольник  АВК - равнобедренный  < BAK = <ВКА -углы при основании

Пусть АВ=х , тогда ВК=х

треугольники  FKC  ~ ABK - подобные по двум углам (признак подобия)

коэффициент подобия треугольников  k= CF : AB =CF : CD = 2 : 3

тогда  СК : ВК = CF : AB = 2 : 3  <----но  BK=x

тогда СК : х = 2 : 3   ;  CK =2x/3

тогда  BC =BK + CK = x + 2x/3 = 5x/3

имеем  две стороны   в параллелограмме

AB=x  ; BC =5x/3

формула периметра   P=  2* (AB+BC) = 2* (x +5x/3)=2*8x/3 =16x/3

по условию  P=64 см  , тогда   64 =16x/3  ; 

x = 12 см  - одна сторона

5x/3 = 5*12 /3 = 20 см  -вторая сторона

ОТВЕТ   12 см ; 20 см

Answer 2

Конечно, рассмотрим каждый пункт по очереди:

1) В трапеции ABCD с основаниями AD=8 см, BC=3 см, точка К - середина AD. Диагональ FC пересекается с BK в точке М. Найти отношение BM к MK.

Для начала, найдем длину диагонали трапеции ABCD, используя теорему Пифагора. Обозначим длину диагонали как $AC$.

$AC^2 = AD^2 + BC^2$ $AC^2 = 8^2 + 3^2$ $AC^2 = 64 + 9$ $AC^2 = 73$ $AC = \sqrt{73} \approx 8.54 \, см$

Так как точка $К$ - середина отрезка $AD$, то $AK = KD = 4 \, см$.

Рассмотрим треугольник $FCK$. По теореме о подобных треугольниках:

$\frac{BM}{MK} = \frac{CF}{FK}$

Нам нужно найти отношение $CF$ к $FK$. Для этого найдем длины отрезков $CF$ и $FK$.

Так как $CF$ относится к $FK$ как 2 к 5, мы можем представить их длины как $2x$ и $5x$.

Из теоремы Пифагора в треугольнике $FCK$:

$FK^2 = CF^2 + CK^2$ $(5x)^2 = (2x)^2 + 4^2$ $25x^2 = 4x^2 + 16$ $21x^2 = 16$ $x^2 = \frac{16}{21}$ $x = \frac{4}{\sqrt{21}}$

Теперь можем найти $BM$ и $MK$:

$BM = 2x = 2 \times \frac{4}{\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$

$MK = 5x = 5 \times \frac{4}{\sqrt{21}} = \frac{20}{\sqrt{21}}$

Отношение $\frac{BM}{MK}$:

$\frac{BM}{MK} = \frac{\frac{8}{\sqrt{21}}}{\frac{20}{\sqrt{21}}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

2) В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла BAD пересекает ВС в точке К, а продолжение CD - в точке F, CF относится к FD как 2 к 5. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 64 см.

Пусть $AB = a$ и $AD = b$ - стороны параллелограмма.

Из условия мы знаем, что $CF:FD = 2:5$. Также, биссектриса разбивает сторону $BC$ на отрезки $CK = 2x$ и $KB = 5x$