Question

Знайдіть косинус альфа і тангенс альфа якщо синус альфа = √2/2

Answer 1

Ответ:

$\cos( \alpha ) = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

$\tan( \alpha ) = 1$

Объяснение:

Застосуемо формулу

$\cos {}^{2} ( \alpha ) + \sin {}^{2} ( \alpha ) = 1$

Звiдси:

$\cos {}^{2} ( \alpha ) = 1 - \sin {}^{2} ( \alpha )$

$\cos( \alpha ) = \sqrt{1 - \sin {}^{2} ( \alpha ) }$

(1)

Пiдставимо значення

$\sin( \alpha ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

у формулу (1). Маемо:

$\cos( \alpha ) = \sqrt{1 - ( \frac{ \sqrt{2} }{2}) {}^{2} } = \\ = \sqrt{1 - \frac{2}{4} } = \\ = \sqrt{1 - \frac{1}{2} } = \\ = \sqrt{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

Ми знайшли значення

$\cos( \alpha ) = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

З курсу тригонометрii ми знаемо, що:

$\tan( \alpha ) = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) }$

(2)

Пiдставимо значення

$\sin( \alpha ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$\cos( \alpha ) = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

у формулу (2). Маемо:

$\tan( \alpha) = \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } = \\ = \frac{ \sqrt{2} }{2} \times \frac{ \sqrt{2} }{1} = \\ = \frac{2}{2} = 1$

Вiдповiдь:

$\cos( \alpha ) = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

$\tan( \alpha ) = 1$

Answer 2

Для знаходження косинуса (cos) і тангенса (tan) кута альфа (α), користуємось відомим співвідношенням між тригонометричними функціями:

1. Співвідношення між синусом та косинусом: sin^2(α) + cos^2(α) = 1.

2. Тангенс - це відношення синуса до косинуса: tan(α) = sin(α) / cos(α).

Знаючи, що sin(α) = √2/2, ми можемо знайти косинус кута альфа:

sin^2(α) + cos^2(α) = 1, (√2/2)^2 + cos^2(α) = 1, 2/4 + cos^2(α) = 1, 1/2 + cos^2(α) = 1, cos^2(α) = 1 - 1/2, cos^2(α) = 1/2.

Тепер витягнемо косинус:

cos(α) = ±√(1/2).

Враховуючи, що кут альфа зазвичай лежить в першому або четвертому квадранті, де косинус позитивний, ми беремо позитивне значення:

cos(α) = √(1/2).

Тепер можемо знайти тангенс:

tan(α) = sin(α) / cos(α), tan(α) = (√2/2) / (√(1/2)).

Поділимо чисельник і знаменник на √2:

tan(α) = (1/√2) / (1/√2).

Зверніть увагу, що √2/√2 = 1, отже:

tan(α) = 1.

Отже, косинус кута альфа (cos(α)) дорівнює √(1/2), а тангенс кута альфа (tan(α)) дорівнює 1.