Question

Задание 5. В треугольнике ABC ∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3. А. Найдите градусные меры углов данного треугольника и определите вид треугольника ABC (13 баллов). Б. Вычислите длину стороны AB, если AB + BC = 24 (12 баллов).

Answer 1

Ответ:

А. ∠A = 30°;   ∠B = 60°;   ∠C = 90°

∠ABC - прямоугольный.

Б. Длина стороны АВ равна 16 ед.

Объяснение:

В треугольнике ABC ∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3.

А. Найдите градусные меры углов данного треугольника и определите вид треугольника ABC (13 баллов).

Б. Вычислите длину стороны AB, если AB + BC = 24 (12 баллов).

Дано: ΔАВС;

∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3

AB + BC = 24

Найти: А. ∠А; ∠В; ∠С; Б. АВ.

Решение:

А. Пусть ∠А = х, тогда ∠В = 2х, ∠С = 3х

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒   ∠A + ∠B + ∠C = 180°

х + 2х + 3х= 180°

6х = 180°   |:6

x = 30°

⇒ ∠A = 30°;   ∠B = 60°;   ∠C = 90°

∠ABC - прямоугольный.

Б. АВ + ВС = 24

Пусть АВ = а, тогда ВС = 24 - а

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ АВ = 2 ВС

а = 2 (24 - а)

а = 48 - 2а

3а = 48    |:3

a = 16

⇒ AB = 16

Длина стороны АВ равна 16 ед.

Answer 2

А. Давайте начнем с нахождения градусных мер углов треугольника ABC. Известно, что соотношение между углами треугольника следующее: ∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3.

Пусть x - это множитель, такой что:

∠ A = x градусов, ∠ B = 2x градуса, ∠ C = 3x градуса.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, мы можем записать уравнение:

x + 2x + 3x = 180

6x = 180

x = 30

Теперь мы можем найти градусные меры каждого угла:

∠ A = x = 30 градусов, ∠ B = 2x = 2 * 30 = 60 градусов, ∠ C = 3x = 3 * 30 = 90 градусов.

Таким образом, углы треугольника ABC равны 30°, 60° и 90°.

Теперь определим вид треугольника ABC:

• Треугольник ABC имеет угол ∠ C = 90°, поэтому он является прямоугольным треугольником.
• Также известно, что ∠ B = 60°, что делает его прямоугольным треугольником с углом 60°.

Б. Теперь мы можем перейти ко второй части задачи и вычислить длину стороны AB, если AB + BC = 24. В прямоугольном треугольнике с углом 60°, сторона, напротив этого угла (AB), является половиной гипотенузы (AC).

Мы можем воспользоваться тригонометрией, чтобы найти длину AB. Пусть AC = c, тогда:

AB = (1/2) * AC = (1/2) * c.

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника имеем:

c^2 = AB^2 + BC^2

Подставив значение AB = (1/2) * c и зная, что AB + BC = 24, у нас есть:

(1/2) * c + BC = 24

Теперь найдем BC:

BC = 24 - (1/2) * c

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора:

c^2 = AB^2 + BC^2

c^2 = [(1/2) * c]^2 + [24 - (1/2) * c]^2

Решим это уравнение для c:

c^2 = (1/4) * c^2 + (24 - (1/2) * c)^2

Теперь разрешим уравнение относительно c:

(3/4) * c^2 = (24 - (1/2) * c)^2

(3/4) * c^2 = 576 - c^2 + 12c - (1/4) * c^2

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

3c^2 = 2304 - c^2 + 48c - c^2

3c^2 = 2304 - 2c^2 + 48c

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

3c^2 + 2c^2 - 48c - 2304 = 0

5c^2 - 48c - 2304 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для c, используя дискриминант:

D = (48)^2 - 4 * 5 * (-2304)

D = 2304 + 46080

D = 48384

Теперь используем квадратное уравнение:

c = (-b ± √D) / (2a)

c = (48 ± √48384) / (2 * 5)

c = (48 ± 192) / 10

Теперь найдем два значения c:

1. c1 = (48 + 192) / 10 = 240 / 10 = 24
2. c2 = (48 - 192) / 10 = -144 / 10 = -14.4

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то c2 не имеет смысла в данном контексте.

Итак, c1 = 24. Это длина гипотенузы треугольника ABC. Согласно нашим вычислениям, длина стороны AB равна половине длины гипотенузы:

AB = (1/2) * c1 = (1/2) * 24 = 12.

Таким образом, длина стороны AB равна 12.