Question

В треугольник ABC проведены биссектрисы AD и BK, BD : DC = 2 : 5, AK : KC = 1 : 3. Периметр треугольника равен 26. Найти стороны. Даю 40 баллов

Answer 1

В треугольник ABC проведены биссектрисы AD и BK, BD : DC = 2 : 5, AK : KC = 1 : 3. Периметр треугольника равен 26. Найти стороны.

Объяснение:

Р=26=АВ+ВС+АС. Выразим через АВ стороны АС,ВС.

По т. о биссектрисе ВК треугольника имеем

АВ:ВС=АК:КС или

АВ:ВС=1/3=> ВС=3АВ.

По т. о биссектрисе AD имеем

АВ:AС=BD:DС  или

АВ:AС=2/5=> AС=2,5АВ

Получаем

26=АВ+3АВ+2,5АВ,

6,5АВ=26 => АВ=4.

ВС=3•4=12,

АС=2,5•4=10.

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника ABC следующим образом:

Пусть AB = x, BC = y, и AC = z.

Теперь у нас есть две биссектрисы: AD и BK. Мы знаем, что BD : DC = 2 : 5 и AK : KC = 1 : 3. Это означает, что:

BD = (2/7)y DC = (5/7)y AK = (1/4)x KC = (3/4)x

Теперь мы можем использовать теорему биссектрисы, чтобы найти значения AD и BK. Согласно этой теореме:

AD/DC = AB/BC

Подставляя известные значения, получаем:

AD/[(5/7)y] = x/y

Теперь мы можем решить это уравнение относительно AD:

AD = (5/7)(x/y) * DC

AD = (5/7)(x/y) * (5/7)y

AD = (25/49)x

Теперь давайте найдем значение BK, используя ту же теорему:

BK/KC = AB/AC

Подставляя известные значения:

BK/[(3/4)x] = x/z

Решаем относительно BK:

BK = (3/4)(x/z) * KC

BK = (3/4)(x/z) * (3/4)x

BK = (9/16)x

Теперь у нас есть значения AD и BK, и мы знаем, что периметр треугольника ABC равен 26. Периметр равен сумме всех сторон треугольника:

x + y + z = 26

Теперь мы можем выразить x, y и z через AD и BK:

x = (49/25)AD y = (7/2)BD z = (16/9)BK

Теперь подставим это в уравнение периметра:

(49/25)AD + (7/2)BD + (16/9)BK = 26

Теперь подставляем значения AD и BK:

(49/25)(25/49)x + (7/2)(2/7)y + (16/9)(9/16)x = 26

x + y + z = 26

Теперь мы видим, что у нас есть уравнение с тремя неизвестными (x, y и z), и оно соответствует условию задачи. Мы можем решить его, чтобы найти значения x, y и z, которые представляют собой стороны треугольника ABC. Условие задачи и система уравнений дают нам достаточно информации для решения задачи.