Question

(НЕ ПРОСТО РЕШЕНИЕ, А И ОБЪЯСНЕНИЯ ЧЕГО ТАК РЕШАЕТЕ). У прямому паралелепіпеді сторони основи 2√2 см і 5 см утворюють кут 45̊. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює 7 см. Знайти його об’єм.

Answer 1

Так як паралелепіпед прямий, то ∆ ВDВ1 прямокутний з гіпотенузою В1D. За теоремою Піфагора знайдемо висоту В1В паралелепіпеда: В1В2 = В1D2 – BD2 = 72 – 13 = 49 – 13 = 36. В1В = 6 см. SABCD = AB ∙ AD ∙ sin ∠BAD = 2√2 ∙ 5 ∙ √2 2 = 10 (см2).

Знаходимо об’єм паралелепіпеда: V = SABCD ∙ BB1 = 10 ∙ 6 = 60 (см3).

Нехай АВ = 2√2 см, АD = 5 см, ∠BAD = 45°.

Меншою діагоналлю паралелепіпеда буде та, яка проектується на меншу діагональ основи, тобто та, що лежить проти кута 45°. Отже менша діагональ основи ВD, а менша діагональ паралелепіпеда В1D = 7 см.

За теоремою косинусів:

ВD. BD2 = AB2 + AD2 – 2 ∙ AB ∙ AD ∙ cos∠BAD = = (2√2)2 + 52 – 2 ∙ 2√2 ∙ 5 ∙ cos45° = = 8 + 25 - 20√2 ∙ √2 2 = 33 – 20 = 13.

Answer 2

Давайте назвемо дані величини:

Довжина основи прямокутного паралелепіпеда: a = 2√2 см Ширина основи прямокутного паралелепіпеда: b = 5 см Менша діагональ: c = 7 см

Ми знаємо, що менша діагональ паралелепіпеда (c) може бути знайдена за допомогою піфагорової теореми, оскільки вона є гіпотенузою прямокутного трикутника зі сторонами a і b (основами паралелепіпеда):

c² = a² + b²

Підставимо дані значення:

c² = (2√2)² + 5² c² = 8 + 25 c² = 33

Тепер витягнемо квадратний корінь з обох боків:

c = √33

Тепер, коли у нас є значення меншої діагоналі, ми можемо знайти об'єм прямокутного паралелепіпеда. Об'єм паралелепіпеда обчислюється за допомогою наступної формули:

V = a * b * c

Підставимо дані значення:

V = (2√2 см) * (5 см) * (√33 см)

Тепер ми можемо обчислити об'єм:

V = 10√2 см * √33 см

Так як √2 * √33 = √(2 * 33) = √66, ми можемо спростити вираз:

V = 10√66 см³

Отже, об'єм цього прямокутного паралелепіпеда дорівнює 10√66 кубічних сантиметрів.