Question

(Даю 10 баллов) Доведите: в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы;

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Первый способ. Пусть M – середина катета AC прямоугольного треугольника ABC, Q – точка пересечения серединного перпендикуляра к катету BC с гипотенузой AB. По теореме Фалеса Q – середина гипотенузы AB, то есть  QA = QB.  Аналогично  QC = QA.  Следовательно, Q – центр описанной окружности треугольника ABC.

Второй способ. Вписанный угол измеряется половиной угловой величины дуги, на которую он опирается. Поэтому прямой вписанный угол опирается на диаметр.

Answer 2

Верно, в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности (инкруга) действительно лежит на середине гипотенузы. Для доказательства этого утверждения рассмотрим следующий прямоугольный треугольник ABC:

Пусть AB - гипотенуза, а C - противоположный прямому углу вершиной. Также обозначим центр описанной окружности как O.

Для начала заметим, что описанная окружность прямоугольного треугольника проходит через вершины A, B и C. Это означает, что радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы AB.

Теперь рассмотрим треугольники AOC и BOC, где O - центр описанной окружности, A и B - вершины треугольника, а C - центр гипотенузы AB.

Так как радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы, то OA = OB. Также у нас есть AC = BC, так как это две равные стороны гипотенузы.

По построению O - центр описанной окружности, значит, радиусы OA и OB равны и равны радиусу описанной окружности. Следовательно, треугольники AOC и BOC - равнобедренные.

В равнобедренном треугольнике основание (сторона, противоположная углу, смежному с равными сторонами) делит высоту (проведенную из вершины) пополам. В данном случае высота AC делит BC пополам. Но AC - это середина гипотенузы AB.

Таким образом, центр описанной окружности O лежит на середине гипотенузы AB в прямоугольном треугольнике ABC. Это и доказывает вашу утверждение.