Question

1) Докажите тождество: sin^2 α+ctg^2 α+cos^2 α= 1/sin^2 α 2) Вычислите: sin(−660¿)+cos810 ¿ 3) Постройте график функции: у=sin(4х) +2

Answer 1

sin²a+ctg²a+cos²a=1/sin²a

1+ctg²a=1/sin²a

1+ cos²a/sin²a = 1/sin²a

1/sin²a=1/sin²a

Тождество доказано.

2) sin(−660°)+cos810°=-sin300°+cos90°=√3/2 +0=√3/2.

3) с осью Х не пересекается.

С осью У: у=sin(4×0)+2=2.

Синусоида пересекается в точке у=2, не пересекается с осью Ох. Синусоида поднимается и опускается на одно деление.

Answer 2

1) Для доказательства тождества, начнем с левой стороны: sin^2(α) + ctg^2(α) + cos^2(α)

Используем тригонометрические тождества: 1) sin^2(α) + cos^2(α) = 1 (это базовое тождество) 2) ctg^2(α) = 1/tan^2(α) (так как ctg(α) = 1/tan(α))

Теперь подставим в исходное выражение: sin^2(α) + ctg^2(α) + cos^2(α) = sin^2(α) + 1/tan^2(α) + cos^2(α)

Далее, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: 1 + tan^2(α) = sec^2(α) (где sec(α) = 1/cos(α))

Тогда: sin^2(α) + 1/tan^2(α) + cos^2(α) = sin^2(α) + 1 + cos^2(α) = sin^2(α) + cos^2(α) + 1 = 1 + 1 = 1

Таким образом, доказано исходное тождество.

2) Для вычисления sin(-660°) + cos(810°), воспользуемся периодичностью синуса и косинуса:

sin(-660°) = -sin(660°) = -sin(360° + 300°) = -sin(300°) = -sin(-60°) = -(-sin(60°)) = sin(60°) = 0.866 cos(810°) = cos(720° + 90°) = cos(90°) = 0

Таким образом, сумма sin(-660°) + cos(810°) равна 0.866.

3) Для построения графика функции у = sin(4х) + 2, начнем с единичного периода (0 ≤ х ≤ 2π). Построим табличку значений:

x | sin(4x) | у = sin(4x) + 2 ------------------------------- 0 | 0 | 2 π/4 | 1 | 3 π/2 | 0 | 2 3π/4 | -1 | 1 π | 0 | 2 5π/4 | 1 | 3 3π/2 | 0 | 2 7π/4 | -1 | 1 2π | 0 | 2

Теперь, используя найденные точки, построим график. Учитывая периодичность функции, график будет повторяться каждый 2π. На графике, точки (0,2), (π/4,3), (π/2,2), (3π/4,1), (π,2), (5π/4,3), (3π/2,2), (7π/4,1) будут лежать на синусоиде, а точка (2π,2) будет соединяться с начальной точкой (0,2).

Таким образом, график функции у = sin(4х) + 2 будет выглядеть как синусоида, смещенная вверх на 2 единицы.