Question

Внутри трапеции ABCD (BC || AD), где AD = 2BC, взята точка F, для которой AB = FB. Точка M — середина отрезка FD. Докажите, что CM ⊥ FA

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Внутри трапеции ABCD (BC || AD), где AD = 2BC, взята точка F, для которой AB = FB. Точка M — середина отрезка FD. Докажите, что CM ⊥ FA

Answer 2

Для доказательства того, что отрезок CM перпендикулярен к отрезку FA в данной трапеции ABCD, мы можем использовать свойства параллелограмма и свойства медианы в треугольнике.

Дано:

1. Трапеция ABCD, где BC || AD.
2. AD = 2BC.
3. AB = FB.
4. M - середина отрезка FD.

Доказательство:

Шаг 1: Поскольку BC || AD, то AB || CD (параллельные стороны трапеции).

Шаг 2: Так как AB = FB, то треугольник AFB - равнобедренный, и у него угол AFB = угол FAB. Также, угол AFB = угол FBA (по свойству равнобедренного треугольника).

Шаг 3: В треугольнике AFB, угол FAB + угол FBA = 180 градусов (сумма углов треугольника равна 180 градусов). Таким образом, угол FAB + угол FAB = 180 градусов, что означает, что угол FAB = 90 градусов.

Шаг 4: Теперь рассмотрим треугольник FCM. Мы знаем, что FM - это медиана в треугольнике AFB, и медиана в треугольнике делит противоположную сторону пополам. Таким образом, FM = MA.

Шаг 5: У нас есть два равных отрезка: FM = MA и FM = MC (по построению, так как M - середина отрезка FD).

Шаг 6: Из равенства FM = MA и FM = MC следует, что MA = MC, что означает, что отрезок CM равен по длине отрезку MA.

Шаг 7: Теперь мы видим, что у нас есть прямоугольный треугольник FAM с прямым углом при вершине A и стороной CM, равной половине гипотенузы MA. Таким образом, CM перпендикулярен к FA, и доказательство завершено.

Мы доказали, что отрезок CM перпендикулярен к отрезку FA в данной трапеции ABCD.