Question

Точка M расположена внутри треугольника ABC. Докажите, что BM+CM меньше AB+AC. С чертежом.

Answer 1

Объяснение:

1)Продолжим прямую BM до пересечения со стороной AC, пусть точкой пересечения будет N

2) Воспользуемся неравенством треугольника:

$\left \{ {{AB+AN > BN} \atop {MN+NC > MC}} \right., BN=BM+MN$

Складываем и получаем:

AB+AN+MN+NC>BM+MN+MC

AB+AN+NC>BM+CM, т.к. AN+NC=AC, то AB+AC>BM+CM ч.т.д

Answer 2

Для доказательства неравенства BM + CM < AB + AC рассмотрим следующий аргумент с использованием неравенства треугольника.

Давайте нарисуем треугольник ABC и точку M внутри него. Теперь нарисуем два отрезка: BM и CM.

[Вставьте здесь изображение треугольника ABC с точкой M внутри, а также отрезков BM и CM.]

Давайте сосредоточимся на треугольнике ABM, который состоит из сторон AB, BM и отрезка AM, и треугольнике ACM, который состоит из сторон AC, CM и отрезка AM.

По неравенству треугольника, для любого треугольника сумма двух его сторон всегда больше третьей стороны. Применим это неравенство к треугольнику ABM:

AB + BM > AM ...(1)

И к треугольнику ACM:

AC + CM > AM ...(2)

Теперь сложим неравенства (1) и (2):

AB + BM + AC + CM > AM + AM

AB + AC + BM + CM > 2AM

Теперь разделим это неравенство на 2:

(AB + AC + BM + CM) / 2 > AM

Так как AM - это расстояние от точки M до стороны треугольника ABC, а BM + CM - это расстояние от точки M до двух сторон треугольника ABC, то (AB + AC + BM + CM) / 2 будет средним арифметическим расстоянием от точки M до сторон треугольника ABC.

Таким образом, мы получили:

(AB + AC + BM + CM) / 2 > AM

А это означает, что BM + CM меньше, чем среднее арифметическое между AB и AC:

BM + CM < (AB + AC) / 2

Умножим обе стороны неравенства на 2, чтобы избавиться от деления:

2 * (BM + CM) < AB + AC

Таким образом, мы доказали, что BM + CM меньше, чем AB + AC, что и требовалось доказать.