Question

Докажите,что прямая ,содержащая середины противоположных сторон параллелограмма,проходит через точку пересечения его диагоналей.

Answer 1

Пусть дан параллелограмм АВСД (АД // ВС), К и М - середины сторон АВ и СД соответственно, О - точка пересечения диагоналей

Т.к. АВ=СД, то АК=ДМ (как половины равных отрезков)

Значит, АКМД - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)

=> АД //КМ

По теореме Фалеса для угла АСД: при СМ=ДМ и АД // КМ прямая КМ должна пройти через середину АС, а это и есть точка пересечения диагоналей - точка О.

..........................................................................................................................

 

Answer 2

В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся на две равные части.

По теореме Фалеса -если параллельные прямые пересекают стороны угла на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают на другой стороне также равные отрезки.

А так как одна диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника., то то на противоположной стороне будет таже ситуация

Answer 3

Для доказательства этого утверждения давайте воспользуемся геометрическими свойствами параллелограмма.

Пусть у нас есть параллелограмм ABCD, где AB и CD - противоположные стороны, а AC и BD - его диагонали. Пусть M - середина стороны AB, и N - середина стороны CD. Нам нужно доказать, что прямая MN проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

Для начала рассмотрим треугольники AMD и BMC. У нас есть следующие факты:

1. Стороны AM и MB равны друг другу, так как они являются половинами стороны AB (M - середина AB).
2. Угол AMD равен углу BMC и составляет прямой угол (так как параллелограмм имеет противоположные стороны, которые параллельны и равны по длине).

Из этих двух фактов следует, что треугольники AMD и BMC равны по сторонам и углам (по стороне-уголу-стороне).

Теперь рассмотрим треугольники ANC и BND. Аналогично, у нас есть:

1. Стороны AN и BN равны друг другу, так как они являются половинами стороны CD (N - середина CD).
2. Угол ANC равен углу BND и составляет прямой угол.

Это означает, что треугольники ANC и BND также равны по сторонам и углам.

Теперь мы можем применить теорему о равных треугольниках. Поскольку треугольники AMD и BMC равны, а также треугольники ANC и BND равны, то уголы MAD и MBA равны, а уголы NAC и NBD также равны.

Теперь рассмотрим треугольник AMN. В нем у нас есть следующие факты:

1. Угол MAN равен сумме углов MAD и NAC.
2. Угол MBN равен сумме углов MBA и NBD.

Исходя из равенства углов MAD и MBA, а также NAC и NBD, мы видим, что угол MAN равен углу MBN.

Теперь, с учетом того, что угол MAN равен углу MBN, и сторошня AM и BN равны, треугольник AMN равен треугольнику BNM по стороне-угол-стороне.

Из этого следует, что AMN и BNM имеют равные основания AM и BN, и прямоугольные углы, примыкающие к этим основаниям, равны. Таким образом, прямая MN проходит через точку пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD.

Таким образом, мы доказали, что прямая, содержащая середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.