Question

биссектриса треугольника ABC пересекаются в точке I. найдите углы AIB, BIC и CIA, если угол А=80° и угол В=70°​

Answer 1

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Получить формулу для угла А:

sin(A) = sin(80°) / sin(180° - 80°) = sin(80°) / sin(100°) = sin(80°) / 2.

1. Нашли отрезок BI:

sin(70°) = sin(180° - 110°) = sin(110°) / sin(180° - 110°) = 70° / sin(180° - 70°)

cos(110°) = sin(70°) / sin(110°) = 70° / 2.

cos(110°) ^ 2 + sin(70°) ^ 2 = 1 -> BI ^ 2 = cos(110°) ^ 2 + sin(70°) ^ 2 = 4 / 3 - 1 / 4

cos(110°) = sqrt(3 - 1 / 2) -> BI = 2.39910068...

1. Нашли угол AIB:

sin(40°) = sin(180° - 140°) = sin(140°) / sin(180° - 140°) = sin(140°) / sin(40°) = sin(140°) / sqrt(2 * (1 - cos(140°))) = 1 / (sqrt(2) * sqrt(1 - sqrt(3))).

cos(140°) = 1 / sqrt(1 + sqrt(3)) -> AIB = cosin^-1(sqrt(3 / 4) - sinin^-1(1 / (sqrt(2) * sqrt(1 - sqrt(3)))) / sqrt(2)) - 100°) -> ~69.73°

1. Нашли угол BIC:

tan(110°) x sin(40°) x cos(110°) = BI ^ 2 x sin(40°) x cos(40°) x sq

Answer 2

Для нахождения углов AIB, BIC и CIA, мы можем воспользоваться теоремой о биссектрисе треугольника, которая гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении, пропорциональном отрезкам других двух сторон.

У нас уже есть значения углов A и B. Пусть AC и BC - это стороны треугольника, противолежащие углам A и B соответственно. Тогда мы можем воспользоваться этой теоремой:

Отношение AC к BC равно отношению синуса угла A к синусу угла B:

AC / BC = sin(A) / sin(B)

AC / BC = sin(80°) / sin(70°)

Теперь мы можем найти это отношение:

AC / BC ≈ 1.396

Теперь, используя это отношение, мы можем найти отношения длин других отрезков:

AI / IB = AC / BC ≈ 1.396

BI / IC = BC / AC ≈ 1 / 1.396 ≈ 0.716

CI / IA = 1 / (AI / IC) ≈ 1 / 0.716 ≈ 1.394

Теперь у нас есть отношения длин AI, BI и CI. Давайте найдем углы, используя тригонометрические соотношения:

1. Для угла AIB:

Тангенс угла AIB равен отношению BI к AI:

tan(AIB) = BI / AI ≈ 0.716

Следовательно, угол AIB:

AIB ≈ arctan(0.716) ≈ 35.14°

2. Для угла BIC:

Тангенс угла BIC равен отношению CI к BI:

tan(BIC) = CI / BI ≈ 1.394

Следовательно, угол BIC:

BIC ≈ arctan(1.394) ≈ 54.96°

3. Для угла CIA:

Тангенс угла CIA равен отношению AI к CI:

tan(CIA) = AI / CI ≈ 1 / 1.394 ≈ 0.716

Следовательно, угол CIA:

CIA ≈ arctan(0.716) ≈ 35.14°

Итак, угол AIB приближенно равен 35.14°, угол BIC приближенно равен 54.96°, и угол CIA приближенно равен 35.14°.