Question

В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 1:3. В каком отношении делит её высота?

Answer 1

1) Биссектриса делит гипотенузу пропорционально длине катетов. Значит катеты относятся как 1:3.
2)Но квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу:
a^2=c*a'
b^2=c*b' Тогда:
a'/b'=a^2/b^2=1/9.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим длину гипотенузы как $c$ и длины катетов как $a$ и $b$. Поскольку биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 1:3, это означает, что $c_1 = \frac{1}{4}c$ и $c_2 = \frac{3}{4}c$, где $c_1$ - это один отрезок гипотенузы, а $c_2$ - другой отрезок гипотенузы.

Теперь мы знаем, что биссектриса также является высотой прямоугольного треугольника. Исходя из этого, мы можем использовать подобие треугольников. Один из этих треугольников - это прямоугольный треугольник с катетом $a$, гипотенузой $c_1$ и высотой $h_1$. Другой треугольник - это прямоугольный треугольник с катетом $b$, гипотенузой $c_2$ и высотой $h_2$.

Из подобия треугольников мы можем написать следующие отношения:

$\frac{h_1}{a} = \frac{c_1}{c}$ и $\frac{h_2}{b} = \frac{c_2}{c}$.

Теперь мы знаем, что $c_1 = \frac{1}{4}c$ и $c_2 = \frac{3}{4}c$, поэтому:

$\frac{h_1}{a} = \frac{\frac{1}{4}c}{c} = \frac{1}{4}$ и $\frac{h_2}{b} = \frac{\frac{3}{4}c}{c} = \frac{3}{4}$.

Таким образом, высота $h_1$ делит катет $a$ в отношении 1:4, а высота $h_2$ делит катет $b$ в отношении 3:4.

Ответ: Высота прямоугольного треугольника делит катеты в отношении 1:4 и 3:4.