Question

в параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке F. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный, Найдите площадь AFCD, если угол BAD = 60 гр. AB=3, BC=5.

Answer 1

1.Так как АД║ВС и АФ - секущая, то∠ФАД=∠АФВ.
Т.к. АФ - биссектриса, то ∠ВАФ=ФАД=∠АФВ, значит тр-ник АВФ равнобедренный.
2. В тр-ке АВФ ВК - высота на АФ. 
В тр-ке АВК ∠ВАК=30°, ВК=АВ/2=1.5, АК=АВ·cos30=3√3/2.
S(АВК)=АК·ВК/2=9√3/8.
S(АВФ)=2S(АВК)=9√3/4.
ВМ - высота на АД.
В тр-ке АВМ ВМ=АВ·sin60=3√3/2.
S(АВСД)=АД·ВМ=15√3/2.
S(АФСД)=S(АВСД)-S(АВФ)=15√3/2-9√3/4=21√3/4 (ед²).

Answer 2

Для начала докажем, что треугольник ABF является равнобедренным. Затем найдем площадь четырехугольника AFCD.

1. Доказательство равнобедренности треугольника ABF:

Поскольку AF - биссектриса угла A параллелограмма ABCD, угол DAF равен углу FAB. Теперь мы знаем, что угол BAF = угол FAB.

Далее, угол BAD - это угол между сторонами AB и AD параллелограмма, и он равен 60 градусам, как указано в условии. Так как угол BAF = угол FAB и угол BAD = 60 градусов, мы можем заключить, что угол BFA также равен 60 градусов.

Теперь у нас есть два равных угла в треугольнике ABF (угол BAF и угол BFA), и это означает, что треугольник ABF является равнобедренным.

2. Найдем площадь четырехугольника AFCD:

Для начала найдем площадь треугольника ACD. Мы знаем, что угол BAD = 60 градусов, поэтому угол CAD также равен 60 градусам (так как сторона AD параллельна стороне BC). Таким образом, угол ACD равен 180 градусов - 60 градусов - 60 градусов = 60 градусов.

Теперь мы видим, что треугольник ACD - это равносторонний треугольник (все углы равны 60 градусов) с длиной стороны CD равной 5 (как в стороне BC параллелограмма).

Площадь равностороннего треугольника можно найти с помощью формулы:

Площадь = (a^2 * √3) / 4,

где "a" - длина стороны треугольника.

Для треугольника ACD площадь равна:

Площадь ACD = (5^2 * √3) / 4 = (25 * √3) / 4.

Теперь, чтобы найти площадь четырехугольника AFCD, вычитаем площадь треугольника ABF из площади треугольника ACD:

Площадь AFCD = Площадь ACD - Площадь ABF = (25 * √3) / 4 - (3 * 3 * √3) / 4 = (25 - 9) * √3 / 4 = 16 * √3 / 4 = 4 * √3.

Таким образом, площадь четырехугольника AFCD равна 4 * √3.